兩個(gè)常用不等式的下界估計(jì)

安徽省舒城縣杭埠鎮(zhèn)中心學(xué)校

丁遵標(biāo) (郵編：231323)

匡繼昌教授在編著的《常用不等式》一書中，收錄了下面的兩個(gè)幾何不等式：

其中a、b、c為△ABC的三邊長，p為半周長，R為外徑，r為內(nèi)徑，∑表示循環(huán)和.

經(jīng)過探討，現(xiàn)已得到它們的下界估計(jì).

證明(1)因?yàn)椤芺c=p2+4Rr+r2，

∑a2=2(p2-4Rr-r2)，

∏abc=4Rrp(∏表示循環(huán)積)，

(2)因?yàn)椤芶2c≥3∏a，∏(p-a)=r2p

由Gerretsen不等式知

p2≤4R2+4Rr+3r2，

①

因?yàn)椤芶=∑c=2p,

②

由①、②得：

結(jié)合文中定理及Guba不等式，有

這樣，我們得到一個(gè)有趣的三角不等式：