歐拉不等式一個加強的再改進

福建省福清第三中學

何 燈 (郵編：350315)

設△ABC的三邊為a、b、c，外接圓和內切圓半徑分別為R、r，則有著名的歐拉不等式R≥2r.文[1]中建立了如下三角形式的加強.

定理1 設R、r分別為△ABC的外接圓和內切圓半徑，則有(Σ表示循環和)

①

當且僅當△ABC為正三角形時取等號.

定理2 設R、r分別為△ABC的外接圓和內切圓半徑，則有

②

當且僅當△ABC為正三角形時取等號.

r(R-2r)(400R3-2452R2r+4243Rr2-1230r3)≥0

③

由于R≥2r，且