數學概念的教學

張玉芳

摘 ?要：學生在學習數學概念時，受到生活經驗以及舊有知識的影響，可能會產生認知偏差，這樣的偏差在學術上被稱為“迷思概念”，它不利于學生全面深刻地理解概念。文章中，筆者以“三角形的高”這一概念的教學為例，分析了學生可能存在的迷思概念及場生原因，并分享了筆者在教學中采取的糾正方法。

關鍵詞：迷思概念;糾正;三角形的高;提質增效

一、前言

數學概念的教學，是整個數學教學中相當重要的一部分，其教學的核心在于幫助學生全面和正確地理解數學概念屬性。概念的定義應該是概念名稱與其相關屬性的結合，教師的教學目標，就是要讓學生能理解概念的相關屬性并將概念名稱與其屬性對應起來。例如，我們在定義“三角形的高”這一概念時，就是如下展開的：“三角形的高是一條經過三角形某一頂點并垂直于該頂點相對邊所在直線的線段。”在這一定義中，我們首先給出了概念的名稱，即三角形的高，然后給出了其相關屬性，即“線段”“經過三角形某一頂點”和“垂直于該頂點相對邊”，這些相關屬性給出了三角形高的全部特征，并使其區別于其他類似概念 [1]。這樣的概念定義看似簡單，但是概念的教學卻沒有那么容易，教師要做的不僅是讓學生記住這些描述，更重要的，教師應幫助學生全面認識概念的內涵，幫助學生學會辨認，構建對應的認知結構，根據人的認知特點。我們在學習某一新概念時，總是傾向于先將它類比于先前的經驗，學生在學習新概念時，往往會將其與先前學習過的知識或者生活中的經驗混淆。有些時候，由于這些經驗過于根深蒂固，學生甚至會對新概念產生錯誤的認知，這樣的錯誤認知在學術上被稱為“迷思概念”。學生在學習“三角形的高”這一概念之前，已經接觸過了如平行四邊形的高、梯形的高等類似的概念，那么這會對學生的認知產生哪些影響？會因此形成怎樣的“迷思概念”？為了了解清楚這些情況，筆者對自己的學生進行了測試，先解釋了什么是三角形的高，然后給出了不同的三角形，讓學生嘗試畫出底邊上的高。

二、對于“三角形的高”，學生存在的迷思概念以及原因分析

筆者對學生進行測試之后，得到了表1的結果。

在進行“三角形的高”這一內容的教學前，我們常認為其難點有二：其一是生活經驗與數學概念的沖突，其二是鈍角三角形高的辨認。生活中，學生對高這一概念的認知一般是“物體最高點到地面的豎直距離”，而在三角形的高這一概念中，參照面由地面轉為了底邊、對邊，它們往往不平行于地面，具有一定的傾斜度，兩者有較大的差別，學生學習起來可能有一定的難度。然而，通過分析結果表中的數據我們發現，對于同一個三角形，當其底邊平行于地面或處于其他位置時，學生辨認的正確率差異為10%左右，并沒有想象中那么大，究其原因，雖然生活經驗與數學概念的差距較大，但是由于學生之前已經學習過諸如平行四邊形的高等近似概念，他們對高在數學中的概念有了一定的認知，這降低了傾斜度這一影響因素的干擾力。而對于鈍角三角形的高，由于存在鈍角邊上的高在三角形外這一特殊情況，一般來說小學教學中不做要求，但是，這樣做會帶來潛在的問題——由于缺少經驗，學生們可能在學習過程中不自主地認為三角形的高就是在三角形內部的，這相當于在概念的定義中增加了一條有關位置的相關屬性，從而局限了概念的定義范圍。所以，雖然鈍角三角形鈍角邊上的高在小學階段不做要求，但是，為了讓學生能夠全面正確地認識“三角形的高”這一概念，教師應該要讓學生接觸這一特殊情況，并讓部分比較優秀的學生嘗試著去畫一畫這個在三角形外的高，幫助他們更加全面深刻地理解這一概念 [2]。

分析結果表格我們發現，學生在作直角三角形直角邊上的高以及鈍角三角形鈍角邊上的高時錯誤率較高，對比分析后，筆者認為，這主要是由于這兩種情況下，高不在三角形的內部，與普遍情況不同。為了找出問題背后存在的迷思概念，筆者將學生的錯誤歸類，希望從中找到問題的根源，具體情況如表2所示。

分析表2可以發現，學生犯“錯誤③”的主要原因是他們受到生活經驗“高是垂直于水平面，是豎直的”這一迷思概念的誤導。在其他情形下，學生都能理解“垂直于對邊（底邊）”這一屬性，取一條垂直于底邊的線段作為三角形的高，這時候錯誤產生的主要原因是學生忽略了高的第二條屬性，沒有讓高經過三角形的某一頂點，分許學生的作圖痕跡和筆記，對部分學生進行詢問后，筆者發現了錯誤背后的迷思概念。

部分學生在作直角三角形直角邊上的高時，從斜邊上一點引了一條垂線到直角邊上，并在旁邊備注“邊上任意一點”，結合學生的知識水平不難發現，他們將平行四邊形的高與三角形的高混淆了起來。在作平行四邊形的高時，是取邊上任意一點向對邊作垂線的，然而在作三角形的高時，“任意一點”變成了“某一頂點”，任意性變成了指向性，學生在學習時需要一定的適應過程。

那么為什么在作銳角三角形的高時，學生基本不會出錯呢？筆者詢問了部分學生，他們反映道，在畫直角三角形直角邊上的高或者鈍角三角形鈍角邊上的高時，從頂點出發無法使得畫出的線段在三角形內部，覺得“怪怪的”，轉而選取了其他點，使高落在了三角形的內部。筆者認為，這是由于教師在講解平行四邊形或者梯形的高時，不經意間對高的位置進行了限定（如圖1），學生在學習時誤認為高應該在圖形的內部，所以在產生沖突時很容易出現錯誤。

三、糾正迷思概念，構建正確的認知結構

經過測試和分析，筆者大概了解了學生在學習“三角形的高”這一概念時存在的迷思概念，為了降低其副作用，筆者采用了以下幾個方法來嘗試糾正迷思概念，幫助學生構建正確的認知結構。

1. 追根溯源，將前概念與新知識結合

數學知識具有一定的連貫性，學生學習的新知識往往和舊知識緊密相連，要想糾正迷思概念，第一步應該是追根溯源，發現前概念中與新知識中的相關部分，然后幫助學生從根源處理清概念內涵。三角形的高這一概念主要與“點到直線的距離”以及“平行四邊形的高”有關，因此，筆者就從這兩個前概念知識點出發，幫助學生正確構建認知結構。

具體的教學過程如下：

第一步，再現前概念場景。

如圖2所示，格子圖中每小格代表1cm，試問：與AB線段距離為3cm的C點在哪里？

再通過這張圖，讓AB線段分別成為平行四邊形、梯形的底邊，引出高的概念，最后再以AB為底作三角形，讓學生指出并解釋什么是三角形的底和高，并讓其明白，求某一圖形的高最終可以轉化為求某一點到某一線段的距離（如圖3所示）。

2. 對癥下藥，利用認知沖突點進行概念構建

學生在三角形的高這一概念的主要認知沖突點就在高的位置上，教師可以抓住這一沖突，讓學生直觀地感受問題之所在，從而完整地架構認知。高相對于三角形的位置主要有三種：高在三角形內，高在三角形上以及高在三角形外，三種情況轉換的節點就在直角三角形直角邊上的高的位置上。筆者通過如下的動態演示，讓學生直觀感受到了高的位置變化，從最容易接受的銳角三角形的高到相對難接受的鈍角三角形鈍角邊上的高，學生在演示過程中產生了認知沖突，通過情況對比，筆者對癥下藥，幫其解決了疑難之處。

參考文獻：

[1] ?夏玉英. 結構化：一種必備的數學核心素養——結構化思維在小學數學教學中的應用及思考[J]. 數學學習與研究，2017（21）.

[2] ?顏春紅. 小學數學結構化教學課堂過程評價解析[J]. 現代中小學教育，2018（2）.