一道課本習題的研究與推廣

胡永強 趙小花

[摘? 要] 文章通過對一道課本習題的深入研究與拓展，探究出多邊形的一個內角、這個內角相對的若干個內角與已知內角相鄰的兩個內、外角平分線的夾角之間的關系. 整個探究過程自然流暢、不斷深入、循序漸進，對培養教師與學生的探究意識、提升探究能力有一定的借鑒意義.

[關鍵詞] 課本習題;解題;多邊形;角平分線

著名數學教育家波利亞說：“掌握數學就意味著善于解題”，對數學問題的深入探究一直都是一線數學教師孜孜以求的工作，也是教師自身發展的推動力. 而對基礎問題適當的變式、挖掘和推廣也有助于鞏固學生的四基，激發學生學習數學的興趣，發展學生的邏輯思維能力，提升學生的創新能力，更能培養學生面對新鮮事物時探究問題本質的思維習慣.

筆者在教學過程中，經常對一些有代表性的數學問題進行變式與推廣. 蘇科版數學教材七年級下冊第42頁有一道習題，筆者對其進行研究與推廣. 授課對象是普通中學的實驗班，學生基礎較好，有良好的探究能力和合作意識.

此外，如果將第（1）和第（2）題中的圖形結合起來，如圖1所示，因為BO，BO′分別平分∠ABC與∠DBC，所以∠OBO′=∠OBC +∠CBO′=∠ABC+∠CBD=（∠ABC+∠CBD）=×180°=90°，同理可得∠OCO′=90°，所以在四邊形OBO′C中，∠BOC+∠BO′C=360°-180° =180°.

該題是在已知三角形一個內角度數的情況下，求出了另外兩個內角平分線的夾角以及與這兩內角相鄰的兩外角平分線的夾角度數，并且發現這兩個夾角存在互補的關系. 筆者在此處給學生留下足夠的思考與討論的時間，讓他們提出關于此題的一些思考. 在小組合作交流之后有學生提出如下問題：若將三角形推廣到四邊形、五邊形或其他的多邊形，此時與這個內角相鄰的兩內角平分線的夾角與對應的兩外角平分線的夾角又是多少度呢？這些多邊形中相應的角又有怎樣的規律呢？針對這些問題筆者引導學生做出以下幾點推廣研究.

4. 結論

根據上面的3個推廣，我們可以得到更具一般性的結論：在任意的n邊形AB Q…QC中，∠A=α，∠BQQ=β，…，∠QQC=β，作與∠A相鄰的兩內角的平分線及對應的兩外角的平分線：

建構主義學習理論認為：學習不是教師把知識簡單地傳遞給學生，而是由學生自主地、有意義地建構知識的過程. 基于這一觀點，在研究完成之后，教師要給學生留足反思、整理的時間，讓他們將探究的結論及時建構到自己原有的知識體系中.

筆者認為對一道題目進行推廣與拓展的原則是能夠借助這道題目的背景，圍繞一個中心主題，將研究的問題不斷加深，挖掘出本題的內涵與外延，形成一個完整的問題鏈，引導學生在解決這些問題的時候找到與原題的共性與不同之處，這樣學生就不再只是單純地解決一個問題，而是對一系列的問題都進行了研究. 最后總結歸納方法，揭示規律，進行升華，讓學生體會到“以不變應萬變”，認識到知識的內在聯系，形成知識體系. 由于本題所做的推廣需要學生有著良好的分類素養及扎實的計算功底，所以適用于學生整體水平較高的班級或者是數學興趣班授課時使用.

通過本題及推廣的教學，學生體會到了數學帶給自己的快樂，培養了他們探究數學知識的興趣，同時對數學思想方法進行了巧妙的滲透. 同學們在小組合作的時候相互幫助，對建設學習共同體也是一次有益的嘗試和訓練.

眾所周知，中考及平時測試中有很多“似曾相識題”，其實這些問題都來源于數學教材的例題、習題與思考題等，因此對教材中出現的問題進行深入研究與推廣是十分有必要的. 在平時的教學中，教師不僅自身要鉆研教材，深挖習題，還要適當地引導學生進行變式與推廣.對這些問題的研究與推廣有助于拓寬學生的視野、提升學生的思維水平、幫助學生從題海中解放出來，減輕學生的負擔、培養學生更高水平的認知能力.