數學核心素養之直觀想象：特征、層次與培養策略（上）

鄧友祥

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）提出直觀想象是六大核心素養之一，并對直觀想象的內涵作出了明確界定：“直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養。”其主要包括：借助空間認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立數與形的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。直觀想象是發現和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成解題思路、進行數學推理、構建抽象結構的思維基礎。為有效落實直觀想象這一核心素養的培養要求，改變傳統數學教學過于關注學生具體數學知識、技能的形成，以切實提高數學教學效率，有必要深入探討直觀想象的基本特征與水平層次，并采取行之有效的教學策略。

一、直觀想象的基本特征

鮑建生教授在“高中數學課程標準修訂中的若干問題”的講座中談及“聚焦數學核心素養”，介紹了作為核心素養的直觀想象的四個方面表現形式：利用圖形描述數學問題；利用圖形理解數學問題；利用圖形探索和解決數學問題；構建數學問題的直觀模型。在此基礎上，《標準》提出直觀想象主要表現為：建立數與形的聯系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運用空間想象認識事物。這在一定程度上體現了直觀想象的基本特征。結合直觀想象的內涵，其主要有如下基本特征。

（一）經驗性

直觀想象必須基于已有的知識經驗和活動經驗，所運用的知識組塊和形象直感都是經驗的積累和升華，并不斷地組合老經驗、形成新經驗，從而不斷提高直觀想象的水平。[1]這一特征要求，平時數學教學要重視引導學生獲得基本活動經驗，并以此為基礎幫助學生直觀地理解數學。

（二）整體性

具有良好直觀想象能力的學生，往往善于借助直觀，從結構、關系、類別、層次及系統等各個角度看待事物，并將所獲取信息有機整合為一個完整體系，這是一種整體思維觀。這一特征要求，平時數學教學要確立整體聯系觀，引導學生借助直觀了解數學知識之間的相同、相似、差異、不同等區別和聯系，形成網絡清晰、融會貫通的數學知識結構。

（三）邏輯性

既然直觀想象借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，強調分析、綜合與探索，建立數與形的聯系，那么其必然表現出一定的邏輯性。這一特征要求，平時數學教學引導學生得出（發現、猜測）相關結論后，還必須要求學生做出合理的數學思考，依據已有數學知識經驗和相關程序步驟，通過嚴格的邏輯推理得出科學結論，以逐步發展學生的邏輯結構。

（四）預見性

直觀想象的結果通常會表現出新的突破，得到新的結論，或發現問題解決的思路、途徑或方法，因此帶有極強的創造性。這一特征要求，平時數學教學要向學生提供具有探索性和思考性的數學學習任務，引發學生深度的數學思考，拓展學生的想象空間，加強學生數學聯想和猜想能力的培養，促使學生自覺或不自覺地運用組塊與直覺，直接預測問題的結論。

二、直觀想象的水平層次

目前中學數學教育界關于直觀想象的教學與研究，更多仍停留在操作層面，對學生直觀想象能力的培養缺乏應有的深度和效度。究其原因，實際教學中不少教師無法弄清學生的直觀想象究竟處于何種水平，因而所采用的教學方法不能保證學生的思維水平能向更高水平進階。因此，有必要對直觀想象的水平層次做出深度的層次劃分，其前提是必須要對直觀和想象的分類有所了解。

關于直觀的分類，康德從哲學視角給出權威的解釋：“一類是經驗直觀，一類是純粹直觀。”[2]孔凡哲等人結合中學數學教學實際，認為幾何直觀具體可表現為實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀、替代物直觀等四種表現形式。[3]

數學想象有著各種不同的表現形式，按照想象的特點來分，可以分成圖形想象和圖式想象兩類；按照想象的深度來分，則可以分成聯想（包括回憶、追想等）和猜想兩類。圖形想象是以空間形象直感為基礎的對數學圖形表象的加工與改造，是對幾何圖形的形象建構；圖式想象是以數學直感為基礎的對數學圖式（數量關系的解析表現）表象的加工與改造。[4]

直觀想象能力的發展具有一定的年齡規律，與之有關的幾何學習理論主要有赫爾（P.H.Van.Hiele）的幾何思維發展模型和杜瓦爾（Duval）的幾何認知關系模型。1959年，荷蘭數學教育家赫爾（P.H.Van. Hiele）經過研究，提出學生的幾何思維發展可分為逐級升高的五個層次[5]（110-111）：只能按圖形形狀來區分———能對認識的圖形形狀加以分析———邏輯地認識幾何圖形———整體上理解演繹法的意義———超出對理論的任何具體解釋而發展理論。

綜上，并結合我國實際，筆者認為學生的直觀想象必須經歷直觀到抽象、有形到無形、外在到內在、非邏輯到邏輯的過程。具體可將學生的直觀想象水平分為如下五個層次（由低到高）：

第一層次：視覺水平。學生只能認識有形實物或直觀模型，不能正確判斷概念間的邏輯關系。此時，幾何圖形的認識僅憑視覺整體觀察，只會按其形狀（尚未加以分析）來區分。

第二層次：描述分析水平。學生能依據已有知識和經驗，對認識的實物（或圖形）形狀加以分析，能描述這些形狀的性質。但仍不能理解數學知識之間的邏輯關系，不能得到數學的邏輯結構。

第三層次：抽象關系水平。學生理解數學知識有時仍需一定的直觀經驗，能認識幾何圖形等知識之間的邏輯關系，并能進行簡單的非正式推理，局部地實現了數學知識的邏輯整理，但不能從整體上理解演繹法的意義。

第四層次：推理水平。學生不再僅憑直觀經驗觀察得出結論，習慣于強調概念思維，能綜合分析和運用已有知識，通過邏輯推理構建數學知識，探索解決問題的思路和方法，在整體上理解演繹法的意義。

第五層次：公理化水平。學生能理解數學知識體系及抽象性，合理評判并舍棄對象的具體性質和其間關系的具體含義，在不同的公理系統下嚴謹地建立數與形的聯系，構建數學問題的直觀模型，超出對理論的任何具體解釋而發展理論。

值得注意的是，上述各水平層次的發展是循序漸進的，任何教學法都不可能讓學生跳過某一水平層次而直接達到下一水平層次，但過渡之后有時仍需回到較低水平以便更好地理解它們，這就是思維過程中的“返祖”現象。直觀想象水平層次的進步，往往依賴于教學而非年齡的增長。

（未完待續）

（作者單位：江蘇泰州學院）