例談法向量在立體幾何中的應用

肖春仔

(江西省定南中學 341900)

大家都知道孫子兵法，古代行兵打仗要講究謀略兵法，我們解決立體幾何問題也要策略方法，胡亂解題是根本解不出答案的.方法不對，不僅浪費自己的時間，也對提高自己立體幾何的解題能力沒有幫助，甚至經過多次失敗后，會挫傷我們的積極性，讓我們對立體幾何的學習失去興趣和信心.而解決立體幾何問題的一個重要方法就是代數化，就是利用向量代數的方法來解決問題.而其中，法向量在解題的時候有著重要作用，能夠使立體幾何問題的解決變得方便而又快捷.筆者將法向量在立體幾何中的應用做出歸納、小結，并以例題的方式進行淺談，以便讓讀者了解這一解題思路，提高解題技巧.

一、利用法向量，可以證明線與面、面與面之間的平行與垂直關系

要利用法向量來證明線與面、面與面之間的平行與垂直關系，主要有這樣幾種方法.若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為b,平面β的法向量為c.則在立體幾何中，第一，證明線和面平行，就是要證明向量a垂直于向量b；第二，證明線和面相互垂直，就是要證明a向量平行于b向量；第三，證明面和面平行，就是證明b向量平行于c向量；第四，證明面和面互相垂直，就是證明b向量垂直于c向量.例如，在正方體ABCD—EFGH中，各棱長為1，證明平面AFC平行于平面EGD.這時，我們就可以以D—ACH為軸，建立一個空間直角坐標系，利用法向量的方法來進行證明，即用向量平行來證明.雖然，有時候，法向量的證明方法不如傳統的幾何方法簡便，但是卻十分的有邏輯性，會降低我們的空間想象難度，提高我們對立體幾何問題的解決能力.

二、利用法向量求出角的度數

1.在線面角度數求解中的應用

2.在二面角度數求解中的應用

除此之外，我們還可以利用法向量來求出點面之間的距離.而同時，線與面之間的距離求解、面與面之間的距離求解就是求出點面之間的距離.所以掌握了如何求出點和面之間的距離的方法，就能解決立體幾何問題中的距離問題了.綜上所述，立體幾何問題是高中數學中的重點問題，極其考驗學生的空間想象能力.但我們都知道，學生的空間想象能力一般都比較差，所以要把這方面的知識學習好是比較困難的.而法向量在立體幾何中的應用能極大地減輕學生這方面的壓力.讓只能想象的解題思路，有了坐標軸作為依托，極大地促進了學生對這方面的解題能力，還能讓學生更加靈活地掌握和運用向量的有關知識，鍛煉學生對數學知識的綜合運用能力.也希望教師能不斷改進和創新自己的教學方式，培養學生對立體幾何的學習興趣，提高學生立體幾何的解題能力，增強學生的數學思維和數學素養，為學生的學習打下良好的基礎.