不等式部分的易錯(cuò)題型與解題技巧

程雅雯

(江蘇省宜興第一中學(xué) 214206)

一、不等式恒成立問題及其解題技巧

針對該種類型的數(shù)學(xué)問題，適宜采用分離變量或適當(dāng)變形，或者采用主元變換法，又或者先進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)，之后運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)來進(jìn)行求解.如果涉及到最值問題，那么在求解中可以采取基本不等式來進(jìn)行求解.

例1已知不等式2ex-nx+15>0在實(shí)數(shù)集R上恒成立，試求正整數(shù)n的最大值.

解析針對該道不等式恒成立問題，求解過程中可以直接采用構(gòu)造函數(shù)f(x)的方法，令f(x)的最小值大于0，那么就可以解決該問題，又或者可以將該不等式進(jìn)行適當(dāng)變形，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)形式比較簡單的函數(shù)，之后基于這兩個(gè)簡單函數(shù)的圖象性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合法來求解問題.

解法二(不等式變形+數(shù)形結(jié)合法)：根據(jù)題干信息，可以將原不等式轉(zhuǎn)化下式：2ex+15>nx.

當(dāng)x≤0時(shí)，原不等式恒成立.

假定h(x)=(2x0-2)ex0-15(x>0),那么可知h′(x)=2xex>0，所以函數(shù)h(x)在x>0上為單調(diào)增函數(shù).又因?yàn)閔(2)<0,h(3)>0，所以可知必然存在x0∈(2，3)使得h(x0)=0.由此可知，k=2ex0∈(2e2，2e3)，且2ex0>2e2>14.由此可知，nmax=14.

二、高次不等式問題及其解題技巧

高次不等式也是高考數(shù)學(xué)學(xué)科常考的一個(gè)知識點(diǎn).我們高中生求解這類數(shù)學(xué)問題的時(shí)候往往會(huì)因?yàn)楦慊靺^(qū)域而出錯(cuò)，且在判斷特殊點(diǎn)或區(qū)域的時(shí)候存在不明確的問題，尤其是我們當(dāng)中許多學(xué)生可能會(huì)在看到高次不等式這種復(fù)雜題型的時(shí)候就心生畏懼，不知道該如何下筆進(jìn)行求解.針對該類數(shù)學(xué)題型，我們要正確認(rèn)識并要學(xué)會(huì)熟練運(yùn)用“穿根法”這種解題方法，這會(huì)提升我們解題的準(zhǔn)確度與效率.在求解解集后，還要注意仔細(xì)地判定解集的臨界點(diǎn)，看是否將其納入到解集范疇.

例2已知不等式(x+3)(x-2)(x-4)≤0，試求其解集.

解析該道高次不等式問題是一種常見的問題，不需要進(jìn)行因式分解即可判斷相應(yīng)函數(shù)的三個(gè)根，即-3，2和4.然后我們可以按照”穿根法“的基本應(yīng)用方法.在數(shù)軸上面分別標(biāo)出x=4，x=2和x=-3三個(gè)零點(diǎn)的坐標(biāo)，這樣就可以將數(shù)軸劃分成4個(gè)區(qū)間，然后從最右側(cè)(x=4)開始，從右上方經(jīng)過零點(diǎn)后向左下方穿過，之后依次穿過x=2和x=-3這兩個(gè)零點(diǎn)，這樣就構(gòu)成了圖1所示的一條函數(shù)曲線圖.然后根據(jù)題干要求，只需要選擇滿足圖象位于數(shù)軸之下圖象即可，但是需要注意的是，該道不等式問題中給出的是“≤”，所以求解過程中需要將相應(yīng)的邊界值納入到解集當(dāng)中，即最終這道題的正確答案為：(-，-3]∪[2，4].

三、結(jié)合線性規(guī)劃的不等式問題及其解題技巧

對于這類數(shù)學(xué)問題，一般都是求解目標(biāo)的最值問題，但是卻涉及到定義域和面積求解等相關(guān)數(shù)學(xué)知識，實(shí)際求解中需要充分了解不等式和線性規(guī)劃等方面的相關(guān)數(shù)學(xué)知識，明確這些知識之間的聯(lián)系性，這樣最終才能準(zhǔn)確地求解相關(guān)數(shù)學(xué)問題.歸納起來，在求解該類不等式問題的時(shí)候，如果遇到求解極值的問題，那么需要先繪制出不等式組的可行域，將其轉(zhuǎn)化成幾何知識后，再將不等式相應(yīng)地轉(zhuǎn)化成等式問題來進(jìn)行求解.又或者可以將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，并為其設(shè)定一部分參考值，基于函數(shù)視角來觀察不同參考值變化下函數(shù)圖象對應(yīng)的變化情況，最終明確影響函數(shù)變化的相關(guān)量，并求解該問題.

A.-1 B.-1/2 C.1/2 D.1

解析該道不等式問題的難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)在于確定三條給定直線所構(gòu)成的區(qū)域以及區(qū)域面積的計(jì)算.針對該道問題，可以先根據(jù)不等式組來繪制出三條直線，繪制出圖2所示它們圍成三角形的示意圖，之后可以將上述給定的4個(gè)選項(xiàng)分別代入后即可直觀地確定這道題的正確答案為B.

總之，科學(xué)、合理的解題技巧往往會(huì)使解題事倍功半，是提升我們求解不等式問題等數(shù)學(xué)問題準(zhǔn)確率和效率的有效手段.因此，我們高中生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要注意多歸納和總結(jié)一些常用的解題方法，并要強(qiáng)化專項(xiàng)解題技巧的訓(xùn)練，確保不斷提升自身的數(shù)學(xué)問題求解能力.