基于產品生命周期的多階段剩余收益項目決策模型

王立夏

(上海大學悉尼工商學院，上海 200899)

1 引言

項目投資決策一直以來是公司財務和投資學領域理論界和實務界重點研究與關注的內容之一。從歷史發展看，相關的估值模型不斷被提出，如現金流折現模型(DCF)、股利折現模型(DDM)、股利增長模型(或高登模型)等等。這些模型雖然一定程度上指導了價值評估，但由于整體上缺乏普遍適用性，所以一直備受批評----股利折現模型很難被用于不發放股利或股利穩定、股利不隨公司業績變化的股票估值；現金流折現模型則很難適用于因公司發展而現金流為負的成長型企業；對比定價如市盈率估值法等則在理論上缺乏可靠依據[1]。

Edwards和Bell[2]在股利折現模型的基礎上提出了剩余收益模型(RIM)，該模型一提出就引起了學者們的廣泛興趣。剩余收益模型可以作為公司權益價值的有效估值模型并已經獲得金融與財務會計理論界和實務界的廣泛認可。Feltham和Ohlson[3-5]基于凈剩余關系和線性信息動態假說構建了三個經典的剩余收益模型，簡稱Feltham和Ohlson系列剩余收益模型或Ohlson系列剩余收益模型。王立夏[6]認為該系列模型堪稱經典是因為它有效對接了會計信息，為會計信息有用提供了實證的理論依據。國內外金融與財務會計學者對剩余收益模型進行了大量的后續研究，主要集中在以下兩個方面：

一方面是關于剩余收益模型的應用與比較研究。王天東等[7]通過實證發現在盈利狀態和虧損狀態、不同信息質量以及不同規模情況下剩余收益估值模型的適用性存在顯著差異，成長性也是影響剩余收益估值模型的因素，同時凈資產賬面價值和剩余收益都具有價值相關性，且互有增量價值相關性。廖儉[8]則通過理論與實務比較了剩余收益估值模型與自由現金流量估值模型，并得出剩余收益估值模型優于自由現金流量估值模型的結論。林海寧和馬群[9]指出將會計信息與公司價值相結合的剩余收益模型對股票價格和公司價值的解釋力最強，充分利用具有較高參考價值和公信力的會計數據是剩余收益模型的突出優勢。

另一方面是關于剩余收益模型的改進研究。張啟鑾和劉倩倩[10]通過引進杜邦分析體系，對Ohlson收益模型進行改進并選擇房地產行業進行了實證分析。王立夏[11]基于市場風險因素構建了風險因子調整的剩余收益模型(RIM-σ2)。敖詩文和高雅[12]則通過引入預測期末市凈率(Pn/ BVn) 對股權價格進行預測，使原模型變為有限期的預測模型。王琳[13]構建了行業價值倍數，即行業中加權綜合估值倍數對剩余收益模型進行改進，并以案例形式研究三家建筑公司來驗證所改進模型的合理性與有效性。

可以發現，剩余收益模型主要是用于公司權益價值的評估，并且Ohlson系列剩余收益模型完美地對接了會計歷史信息。由此引發問題：剩余收益模型是否可以像自由現金流折現模型、股利折現模型等估值模型那樣用于對項目的投資決策？是否可以運用常用的如凈現值(NPV)等方法來計算投資價值？計算投資價值時需要哪些數據，該如何進行評估決策？

本文借鑒甘柳等[14]、李珠瑞等[15]的模型構建方法，基于產品生命周期理論，對剩余收益模型進行拓展研究，從理論上構建基于產品生命周期的多階段剩余收益項目投資決策模型，并進一步地對所構建的模型進行管理運用與數據賦值檢驗研究。

2 理論基礎

2.1 剩余收益模型理論基礎

我們知道，股利折現模型的一般表達式為：

(1)

式中：Vt表示第t期項目權益市場價值；Et[dt+k]表示人們預期第t+k期間將要收到的股利期望；rt+j表示t+j期間的貼現率。

Edwards E O和P W.在上式(1)的基礎上，根據剩余收益的定義，得到如下剩余收益模型表達式[2]：

(2)

式中：BVt表示項目在第t期末的凈資產賬面價值；r表示無風險利率；Xt+τ表示項目在第t+τ期的凈利潤；Xt+τ-rBVt+τ-1表示第t+τ期的超常剩余收益(又稱剩余收益)。

由式(2)可以看出：根據該剩余收益模型，公司權益價值最終由該公司當期凈資產賬面價值、未來各期的剩余收益(或預期凈利潤和凈資產)以及貼現資金成本率(或貼現率)決定。為了計算公司內在權益價值，我們不需要預測公司未來支付給股東的股利，而只需要對未來的收益和凈賬面價值進行預測。

由于該模型涉及到未來無限期的剩余收益的折現求和，使得估值的計算存在困難。由此Feltham和Ohlson提出線性信息動態關系的假設，得到如下剩余收益模型(3)：

Xt+1=αXt+υt+1+ε1t+1

υt+1=βυt+ε2t+1

(3)

式中：Xt+τ表示第t+τ期的剩余收益；υ表示影響剩余收益的其他因素；ε1、ε2表示均值為零的隨機變量；Rf表示折現率；α、β為相應變量因素的系數，為已知常數；

其他字母表示的意思同上。

式(3)通過對模型(式(2))中的剩余收益加入線性信息動態條件，使得未來收益和凈賬面價值等會計數據具有一定的規律性，從而可以用本期的會計數據來預測未來的會計數據，由此解決了項目未來會計數據無法直接獲得的問題。

2.2 產品生命周期發展理論基礎

Dean[16]首次提出了產品生命周期的概念，他認為根據產品在市場中的逐漸演化過程，可以將產品劃分為推廣、成長、成熟和衰亡四個階段，不同的階段產品的定位不同。而美國哈佛大學教授Vernon R[17]則從生命周期視角研究產品發展過程中的階段性問題，形成了著名的產品生命周期理論：產品生命周期(product life cycle，簡稱PLC)，是指產品的市場壽命，即一種產品進入市場后，它的銷售量和利潤都會隨時間推移而改變，呈現一個由少到多再由多到少的過程，就如同人的生命一樣，由誕生、成長到成熟，最終走向衰亡，這就是產品的生命周期現象。該理論廣泛運用于企業的產品開發和項目決策，已經成為了一門非常重要的科學，并廣泛運用于管理科學相關領域。美國Booz Allen & Hamilton[18]基于市場銷售變化規律角度研究將產品生命周期分為為進入期、成長期、成熟期和衰退期(見圖1)。Gort和Klepper[19]則在定性和定量分析產品生命周期的基礎上對內生型產業生命周期的演化進行了相關研究，根據產業中的廠商數量將產業劃分為引入期、大量進入期、穩定期、大量退出期和成熟期五個階段，建立了產業經濟學意義上的第一個產業生命周期模型——G-K模型。

萬君康[20]將不同的產品生命周期理論基于研究的出發點及應用重點等方面的區別總結如下(表1)：

圖1 產品生命周期模型

由于產品生命周期理論發展比較早，至今已相對成熟，產品生命周期可以分為四個階段已形成共識。本文將產品的生命周期分為投入期、成長期、成熟期和衰退期這四個周期。

2.3 研究基礎

首先，剩余收益估值模型和產品生命周期理論均為發展成熟的理論，在各自領域均已獲得學者們的廣泛共識。但兩理論的結合研究，至今則顯得比較匱乏。

表1 不同角度產品生命周期理論的區別表

其次，剩余收益估值模型對公司權益價值評估時是基于公司凈資產及其所產生的超常剩余收益。同樣地，項目投資決策也是基于其未來的投資收益和現時的投資支出。兩者具有共性，如果把一個投資項目當作一個公司，那么剩余收益估值模型理論也可以用于項目價值評估。

最后，剩余收益估值模型對公司權益價值估值時是假設公司是持續或永續經營的，這也是Feltham和Ohlson系列收益模型中提出的線性信息動態關系假設的基礎。項目投資則不可能持續或永續，其一般都具有有限的持續期。并且項目投資具有明顯的產品生命周期特性。

鑒于此，本文擬從經營管理學的學科范疇展開，在剩余收益模型的基礎上，基于上圖1所述的產品生命周期及其各階段的不同特征，力圖構建更能反映產品各個發展階段特征的多階段剩余收益項目決策模型。

3 模型的構建

3.1 一般型模型構建

根據上述剩余收益模型以及產品生命周期的理論基礎，項目的價值可以根據其四個不同發展階段分別進行估算：

第一階段，即投入期，就是項目在當期t時刻的價值，由于此時項目未來的價值尚未體現，故其真正的價值就是其實際投資，也就是項目實際投資的賬面凈資產。

第二階段，即成長期，是指自t+1時刻項目開始運營到未來的第m年，這一階段的產品經營狀況屬于成長階段，其收益具有高速增長的特征。

第三階段，即成熟期，是指自第m+1時刻項目運營到未來的第n年，這一階段的產品經營狀況屬于相對穩定，其收益的波動比較小，具有在一定區間幅度內波動的特征。

第四階段，即衰退期，是指自第n+1時刻開始到項目結束或退出期(第ξ期)，這一階段的產品經營狀況處于衰退期，其收益逐年變小，直至項目結束經營或更新換代(轉換至下一個生命周期，另行重新開始)。

基于上述分析，假設每年的折現率均為R，則可以對一般剩余收益模型(式2)進行分解，便得到：

(4)

式(4)就是本文提出的基于產品生命周期的多階段剩余收益項目決策模型的一般表達式。即項目的價值主要由以下四部分組成：

(1)BVt：企業現有項目投入的賬面價值，它代表項目投資所積累的在t時刻的價值。本文稱之為第一階段的價值，記V1；

由此，項目的累計投資價值現值為：Vt=V1+V2+V3+V4。

3.2 運用型模型構建

很顯然，上述多階段剩余收益項目決策模型(式(4))的一般表達式對項目價值進行估值的實用性較差，因為式(4)的多階段剩余收益模型四個階段中，企業的發展速度和特征均是不同的，其各階段的投資回報率(ROE)應該是具有反映產品生命周期的階段性特征，但一般表達式的模型中卻未能具體反映。基于此，本文就此進一步研究，以構建運用型的項目定價估值模型。

3.2.1 定義及假設條件

式中：ROEτ表示第τ期的凈資產回報率；NIτ表示第τ期的凈利潤；BVτ-1表示第τ-1期期末的凈資產賬面值。

同時，本文擬提出如下假設前提：

該假設的合理性在于：一方面，Kang和Kim[21]以及李娜等[22]總結了七種具有代表性的經濟與管理常設函數：冪函數、指數函數、HARA函數、對數函數、冪函數復合函數、線性函數、指數函數復合函數；同時，郭凱明等[23]用指數函數來假設企業家精神和經濟的增長。另一方面，根據產品生命周期的特征，產品在這個階段屬于成長期，其收益是隨著時間(年份)持續增長的，故其ROE也是持續增加，因而適合遞增的指數函數，但由于各產品不同以及其他因素的影響，故增加一個調整系數α。

假設(2)，在第三階段，即從m+1年開始到第n年的成熟期，項目的剩余收益符合Feltham-Ohlson剩余模型收益中的線性信息動態關系假設。即在該階段，相鄰兩期的剩余收益存在一定的線性關系。很顯然，該階段的凈資產回報率會在一定的區間幅度內波動，符合Feltham-Ohlson所提出的相鄰兩期存在線性動態關系的假說。

該假設的合理性類似于假設(1)，但由于該階段的產品收益是遞減的，故適合遞減的指數函數，同樣道理，基于產品的不同以及其他因素的影響，增加一個調整系數β。

假設4，不考慮項目中途的現金分紅、或其他方式的收回或減少投資

3.2.2 運用型模型的推理與分析

基于上述多階段剩余收益項目決策模型的一般表達式(式(4))，根據產品生命周期理論及上述假設，現在針對每一階段的價值分別進行推理與分析。

(1)第一階段價值V1，很顯然，由于項目尚屬于投入階段，該階段的項目價值就是V1=BVt。

(2)第二階段價值V2

根據式(4)，可以知道該成長期的價值為：

根據假設1，由于：

V2

(5)

式中：BVτ表示第一階段期末或第二階段期初的賬面凈資產值；V2表示第二階段折現到第t期的價值，即第二階段的價值；其他字母代表的意思同上。

(3)第三階段價值V3

根據式(4)，可以知道該成熟期的價值為：

根據假設2，上式可以轉變為：

Xτ+1=φXτ+υτ+1+ε1τ+1

υτ+1=φυτ+ε2τ+1

(6)

將式(6)展開并整理可得：

V3

(7)

其中：0<φ,φ<1

式中：Xm、Xn分別表示該階段期初和期末(即第二階段的期末、第四階段的期初)的剩余收益；υm表示影響期初剩余收益的其他因素；φ、φ分別表示剩余收益和其他因素變量的系數，為已知參數；其他字母表示的意思同上。

(4)第四階段價值V4

根據式(4)，可以知道該衰退期的價值為：

V4

(8)

式中：BVn表示第三階段期末或第四階段期初的賬面凈資產值；其他字母代表的意思同上。

3.2.3 多階段剩余收益模型

在多階段剩余收益項目決策模型一般表達式(式4)的基礎上，基于上述假設(1)至假設(4)，可以得到如下實證型多階段剩余收益定價模型：

Vt=BVt

(9)

且：

Xτ+1=φXτ+υτ+1+ε1τ+1當τ∈(m+1,n)

υτ+1=φυτ+ε2τ+1

3.3 考慮分紅的多階段剩余收益模型

本文中提出的假設(4)對項目來說是一種推理的特例，現在由特殊到一般，必須考慮項目的分紅(包括每年固定的投資回收)現實，如現在流行的PPP項目，資金提供方每年從項目收回一定固定比例的收益。由此，針對本文中的假設(4)替換成如下假設(5)。

假設(5)：項目在每一期的分紅比例為Ω，即每期的分紅金額為NIτΩ，則留存凈利潤為NIτ(1-Ω)。

由假設(5)，很容易知道：

由此，在上式(9)的基礎上考慮項目分紅的多階段剩余收益模型可以表示為：

(10)

式中：Ω表示項目凈利潤的分紅比例；其他字母所代表的意義同上。

4 拓展性研究

4.1 成熟階段的行業平均回報率

上式(9)和式(10)的多階段剩余收益定價模型雖然針對產品的生命周期不同特征來計算各周期的價值，但仍沒有離開Feltham-Ohlson系列剩余收益模型中的線性信息動態關系假設，即在本文的假設(2)中，針對第三階段的剩余收益價值，在該成熟階段仍然假設產品各年的剩余收益滿足線性信息動態假設。

事實上，當產品在步入成熟期時，經過前期的投入并獲得超額回報率后，其凈資產回報率將會趨向于行業平均回報率。由此，我們針對第三階段，可以將假設(2)修改為：

由此，企業第三階段的價值和總體權益價值將分別變為：

4.1.1 不考慮項目分紅

項目在第三階段，即成熟期的價值為：

(11)

相應地，項目的價值為：

Vt=BVt

(12)

同時：

4.1.2 考慮項目分紅

項目在第三階段，即成熟期的價值為：

(13)

相應地，項目的價值為：

(14)

同時：

4.2 項目的價值最大化

從上述有關項目的價值模型中，很容易發現，隨著時間的推移，項目的價值會越來越大，然而，其是否會無限的增長呢？很顯然，項目價值不可能無限增長，當其價值增大到某種程度后應該會下降，故在產品的生命周期中，項目的價值應該是先上升后下降的關系，即下圖的關系(見圖2)：

圖2 產品生命周期的價值體系圖

那么，什么時候是項目價值最大化的時刻呢？

可以得到：

(15)

式(15)得出的結果非常符合常識，即當項目的凈資產回報率等于無風險利率時(時刻)，項目的價值達到最大。超過該時刻，則項目的價值將越來越小。此時，投資者要么將產品升級換代，重新進入另外一個產品生命周期，要么將終止該項目，重新投資于另外一個新的項目。否則，從經濟及理性的角度，原產品繼續經營對投資者來說是不經濟的，某種程度說，也是一種資源的浪費。

正因為如此，本文的下列項目決策與分析及數值實驗均是基于凈資產回報率大于等于無風險回報率，這也符合現實，從理性的角度考慮，當凈資產的回報率低于無風險回報率時，決策者應終止該項目運營。

5 項目決策與分析

不考慮項目分紅或投資者在產品經營過程中收回投資的情況下，利用NPV方法，則可以對該項目做出正確的決策，即：

NPV=Vt-It

It為項目的投資額，很顯然，不管投資期(建設期)是多長時間，均存在It=BVt，由此：

NPV=BVt

即：

NPV

(16)

很顯然，當式(16)中的NPV≥0時，該項目投資是可行的；當NPV<0時，該目投資是不可行的。

同時，在凈資產回報率均大于等于無風險回報率的情況下，從式(16)很容易發現：當m越大時，則NPV越大；同樣地，當n越大，NPV也越大。

6 數值實驗

借鑒李春好等[24]、周忠寶等[25]和李美娟等[26]等模擬驗證分析方法，基于實務考量，模型(式(12)或式(14))中相關參數的理論取值范圍如下(見表2)：

表2 參數的理論取值范圍

假設BVt=1,r=5%，即R=1.05，系數α和β均取值0.3，并且不考慮分紅，即的情況下，其他各參數的不同取值與多階段剩余收益的項目決策計算表如下(見表3)：

表3 NPV計算表

從表3可以發現，當產品所處生命周期的增長期(m)越長，其NPV越大，符合推論1；同樣地，當產品所處生命周期的成熟期(n)越長，其NPV也越大，符合推論2。還可以進一步發現，當產品所處生命周期的增長期時，其增長率(g2)越高，NPV越大；當處于生命周期的衰退期時，其下降率(g4)越快，NPV就越小。最后，當產品所處生命周期的成熟期，其平均回報率越高，則其NPV也越大。

同時，如果改變系數和的取值，其結果保持與表3同樣的變化趨勢。

7 結語

本文在剩余收益模型的基礎上，引入產品生命周期理論，從理論上構建了多階段剩余收益項目決策模型，通過對模型的邏輯推導、運用分析和賦值檢驗，結果表明新構建的模型可以作為一種項目投資決策評估模型。本文的主要貢獻表現在：

第一，拓展了剩余收益模型的應用。剩余收益模型主要是用于對公司權益價值進行估值，而Ohlson系列收益模型則有效地將其與會計信息有用觀完美結合，極大地有利于會計的實證研究。本文則將其擴展到項目投資決策，并運用成熟的產品生命周期理論構建剩余收益項目決策模型，通過賦值分析并檢驗了該模型的可行性。

第二，有效解決了剩余收益模型中存在的無窮項問題。由于項目具有生命周期特征，故其存在一定的有限期間，或者根據價值最大化選擇確定的經濟運行期間，進而不存在一般剩余收益中存在的無窮項問題。《企業進入創新活躍期：來自中國企業創新動向指數的報告——2016·中國企業家成長與發展專題調查報告》[27]指出，在經濟高速發展的當今，產品的生命周期將越來越短。本文的研究符合產品生命周期有限的現實，并不需要設定項目無限期發展或增長這一不太符合實際的假設。

第三，有利于尋求項目投資決策時的價值最大化。之前的眾多項目投資決策模型均只是計算出項目的投資價值(如NPV)，而未能深入分析了解項目存在最大化的時刻。而根據本文構建的剩余收益項目決策模型則可以計算出項目最大化的時點(t*)。另一方，根據本文所構建的模型，有利于投資人對項目投資進行深入分析并作出正確的決策。

一是盡量投資成長期高(g2)且持續時間長(m)的項目或產品。這就要求決策者選擇發展前景好，進入壁壘高的項目或產品進行投資。

三是選擇衰退期相對慢的項目或產品。這也要求決策者選擇不會被馬上替代的項目或產品，這樣可以最大限度地獲得剩余價值，增加投資收益。