關注核心素養，立足全面發展
——以“微專題探究：看似無圓卻有圓”為例

☉山東省淄博市淄川區楊寨中學 劉 慧

☉山東省淄博市淄川區楊寨中學 王 廷

一、引言

2014年3月30日，教育部在《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》中提出“發展核心素養體系”.從此，一個嶄新的名詞“核心素養”進入了大眾視野，并引起了廣泛關注.

2016年9月13日，《中國學生發展核心素養》正式發布，明確指出中國學生發展核心素養以培養“全面發展的人”為核心，分為文化基礎、自主發展、社會參與3個方面，綜合表現為人文底蘊、科學精神、學會學習、健康生活、責任擔當、實踐創新等六大素養，具體細化為18個基本要點.至此，由課題組歷時3年完成的核心素養體系終于完成，也為廣大教師今后的教學實踐指明了方向.

在當前的數學教學實踐中，如何關注核心素養，從而培養學生全面發展，是每一位教師面臨的新課題.下面，筆者以“微專題探究：看似無圓卻有圓”為例，談談對此的實踐探索及思考.

二、教學實踐

1.課前熱身，引入課題

熱身題：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AC=AD，若∠BAC=20°，∠CAD=80°，則∠BDC=_____，∠DBC=_____.

圖1

圖2

教學說明：本題是有關輔助圓的一道經典題.此題可以用三角形的內角和定理和等腰三角形的性質來解決，但比較煩瑣；也可以添加輔助圓（如圖2）來解決，會簡單許多.學生先利用課前時間完成此題.課堂開始，教師引用美國數學家維納所說的“鉆研數學，這是一種需要全部靈活性和刻苦耐勞的智力體操”進行引入，自然過渡到熱身題.教師選取不同的學生展示自己的解題方法，引導學生分析、對比不同的方法，從而引出本節課的課題“微專題探究：看似無圓卻有圓”.

2.模型提煉，拓展思維

（1）模型一：到定點的距離等于定長.

問題：（1）通過熱身題，思考：題目中出現什么條件時可以添加輔助圓？依據是什么？

（2）通過熱身題，可以得出添加輔助圓的哪種模型？

教學說明：通過這兩個問題引導學生積極思考，發現題目的特點，總結添加輔助圓的基本模型：到定點的距離等于定長，并理解這種模型的基本依據.這里較多的學生認為添加輔助圓的依據是“圓的半徑相等”，這其實并不準確，嚴格來說應該是圓的靜態定義：到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫作圓.

（2）模型二：四邊形對角互補.

例1 如圖3，Rt△ABC和Rt△ABD的斜邊重合，且AC=8，BC=6，∠BAD=45°，連接兩個直角頂點C、D，則線段CD的長度為_______.

問題：（1）當題目中出現什么條件時，可以添加輔助圓呢？依據是什么？

圖3

圖4

（2）更一般地，如果∠ACB和∠ADB互補（如圖4），那么A、B、C、D四點還在同一圓上嗎？

教學說明：例1是由一道習題改編而成的，原題圖中是有圓的，筆者特意將此題中的圓隱去，旨在讓學生自己分析題目特點，從而發現其中隱藏的圓.學生根據“兩個直角三角形有公共斜邊”這一特點，不難添加輔助圓，但對于添加的依據依然不甚明了.教師需引導學生把此問題轉化成模型一，即找到公共斜邊的中點O，連接CO和DO（如圖5），根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得到AO=BO=CO=DO，再利用模型一的結論即可說明添加輔助圓的原理.添加了輔助圓之后，這個例題也就不難解決了.接下來教師追問問題（2），對于這個問題，學生基本能猜想到結論，但原理依然不清楚，很多學生認為是“圓內接四邊形對角互補”，這也是不準確的.這個結論的證明可以用反證法.由于這個方法初中階段涉及較少，學生比較陌生，且不是中考考查內容的重點，因此，筆者在這里采用了微課教學的形式，把證明過程錄制成了一個微課視頻，一方面，可以減輕課堂容量的壓力，另一方面，可以進行資源共享，讓學生課下拓展學習.通過這兩個問題，可以得出第二種添加輔助圓的基本模型：四邊形對角互補.

（3）模型三：同底同側張等角.

問題：（1）如圖6，如果把圖5中的△ABD翻折到上方，與△ABC在AB的同側，那么A、B、C、D四點還共圓嗎？

（2）如圖7，如果∠ACB=∠ADB=α，那么A、B、C、D四點還共圓嗎？你能得到更一般的結論嗎？

教學說明：這兩個問題是在模型二的基礎上，借助軸對稱變換及類比的方法進行拓展引申，從而得到添加輔助圓的第三種基本模型：同底同側張等角.有了前面模型二的探索，學生不難得到結論，且對于輔助圓的添加依據也會通過類比輕松獲得.

圖5

圖6

圖7

圖8

（4）模型四：動點定角度對定線段.

例2如圖8，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為_____.

拓展：如果∠APB=α（α是定值），點P的運動軌跡又是什么呢？

教學說明：這個例題是動點求最值的問題.對于動點問題，學生往往不能結合條件找到動點的運動軌跡.為了幫助學生克服這個難點，筆者借助幾何畫板來進行動態演示.通過對條件的分析，可以發現動點P始終滿足∠APB=90°，借助幾何畫板可以清晰觀察到點P的運動軌跡是一段圓弧（如圖9），于是問題就轉化成了“圓外一點到圓上一點的最小距離”問題，例題自然就可以解決了.接下來筆者追問拓展問題，有了前面模型二和模型三的探索，結合幾何畫板的動態演示，學生會得到更一般的結論，即：當α是直角時，點P的運動軌跡是除點A和點B外的圓（如圖10）；當α是銳角時，點P的運動軌跡是優弧（如圖11）；當α是鈍角時，點P的運動軌跡是劣弧（如圖12）.從而，得出添加輔助圓的第四種基本模型：動點定角度對定線段.

圖9

圖10

圖11

圖12

3.模型總結，凝練精華

通過之前的探究，請同學們總結一下：我們得到了哪些輔助圓的模型呢？請同學們把基本圖形畫出來.

教學說明：學生獨立畫出輔助圓模型的基本圖，同時學生代表上臺板演.通過這個環節，學生對前面零散的模型進行系統整理.部分學生可能畫得不全面，通過組內交流共享，可以進一步補充完善，接下來師生共同總結，形成完整的知識鏈.

4.模型應用，體驗成功

練習1：如圖13，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E 是AB邊的中點，F是線段BC上的動點，將△EBF沿EF所在直線折疊得到△EB′F，連接B′D，則B′D的最小值是______.

練習2：如圖14，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點D，BE⊥AC，垂足為點E，M為AB邊的中點，連接ME、MD、ED.求證：

圖13

（1）△MED為等腰三角形；

（2）∠EMD=2∠DAC.

圖14

圖15

練習3：（選做）如圖15，△ABC為等邊三角形，AB=2，若P為△ABC內一動點，且滿足∠PAB=∠ACP，則線段PB長度的最小值為________.

教學說明：練習1是一個動點問題，通過此題讓學生進一步體會輔助圓在解決動點問題時的作用.學生在展示此題時結合了幾何畫板，可以更直觀地觀察到動點的運動軌跡.練習2是對第三種模型的應用，通過此題來彌補該模型沒有例題對應的缺陷，同時通過學生板書，規范學生的解答過程.練習3對應最后一種模型的一般情況，難度稍大，供學有余力的學生選做，體現分層教學.

5.總結收獲，感悟升華

師：同學們，這節課有什么收獲呢？

教學說明：學生自由發言，談談體會和收獲，把學到的知識、方法、思想進行升華提煉.這一環節，學生往往停留在對知識點的總結上，教師要引導學生積極感悟本節課在數學方法和思想上的收獲并進行合理表達.

6.教師寄語，師生共情

教師寄語：只要做到圖中無圓，心中有圓，你就能成為解決數學問題的有“圓”人！祝同學們中考成功！

教學說明：通過教師寄語，讓學生在語言上感受數學的魅力，同時對學生即將進行的中考表示祝福，與學生產生共情，從而激勵學生為今后的數學學習繼續努力.

三、核心素養分析

筆者通過上述課堂教學實踐，力求讓學生在核心素養方面有一定的發展.下面筆者結合具體的實踐過程，對可以培養學生哪些核心素養做進一步的分析.

在人文底蘊方面，筆者通過一開始的名人名言及課堂尾聲的教師寄語，讓學生對數學文化的人文積淀和人文情懷有一定的感性體驗.另外，在探究模型三時，筆者運用了軸對稱的動態變化，讓學生感受到了幾何圖形的變化之美，有利于培養學生的審美情趣.

在科學精神方面，通過模型提煉環節，讓學生積極探索添加輔助圓的幾種常見模型，從而培養了學生勇于探究的科學素養.同時，在探究的過程中，學生經歷了從特殊到一般、從靜態到動態、從形象到抽象的過程，從而有效提升了理性思維的能力.在探尋添加輔助圓的依據時，學生出現了不少問題，通過教師的引導和學生的討論，最終明確了真正的依據，在此過程中可以鍛煉學生的批判質疑精神.

在學會學習方面，通過課前熱身環節，讓學生充分利用課前的點滴時間進行課前準備，從而培養了學生樂學善學的素養.在模型總結環節中，學生自己畫輔助圓的基本圖形，然后組內共享訂正，這樣可以引導學生重視總結數學思想方法和技能，從而培養了學生勤于總結、勤于反思的數學素養.另外，在做練習1時，個別學生看到動點始終是直角頂點，誤以為是第四種模型，這是一種非常典型的錯誤，經過師生的共同討論，學生發現了此題中雖然動點的角度是定值，但所對的線段不是定值，因此不屬于第四種模型.通過對易混知識點的區別和辨析，進一步發展了學生勤于反思的科學素養.

在健康生活方面，學生在課前熱身、小組合作探究和獨立解決習題等環節中都發展了自我管理的能力素養.

在責任擔當方面，通過美國數學家維納的名言，增加了學生對數學文化的國際理解.

在實踐創新方面，學生在模型應用環節中，能積極運用所學的基本模型來分析題目，構造出輔助圓從而解決問題，有效提升了問題解決的能力.同時，在解決問題的過程中，進行展示的學生能結合幾何畫板來演示動點的運動軌跡，鍛煉了對技術運用的能力.

四、結語

數學知識是培育學生數學核心素養的土壤，而數學課程與教學是發展學生核心素養的重要途徑.基于核心素養的課堂教學需要教師關注核心素養體系，以培養學生全面發展為落腳點，將核心素養的理論知識切實貫徹到課堂教學的每一個環節中，這需要每一位教師在教學過程中不斷探索和實踐.