提升學生數學知識應用能力的策略與實踐

☉江蘇省南通田家炳中學 張愛華

知識與智能是相互依存、相互制約的.合理地儲存和運用知識可以完美展現知識能力，快速提高智能水平.知識的儲存可以更好地促進知識的運用，知識的合理運用是對所儲存知識效果的一種檢測.因此，深度探究影響知識儲存和運用的最重要因素，才能真正意義上提升知識儲存和運用的效果，培養學生的數學學科核心素養.下面，筆者結合自己的數學課堂教學，談一談如何優化學生的知識結構，不斷提升學生的知識運用能力.

一、概念和定理教學，應注重知識的條件化培養

課堂教學中，學生借助一系列數學實踐活動，獲取數學概念和數學定理.不過，怎么利用數學概念、定理去分析和解決數學問題，常常會讓學生感覺到困惑，并頻頻受挫.因此，教師在進行數學概念和定理的教學時，既需引導學生將數學概念、定理和公式這一系列陳述性知識“收入囊中”，更需學生掌握“如果……就……”之類的程序性知識［1］.數學中的概念和定理來源于實際生活，是對實際生活的一種抽象概括，具有條件與范圍意義上的局限性.

例如，在教學“平行線”這一內容時，教師給出概念：在同一平面內，不相交的兩條直線平行.此處，我們就必須著重強調“在同一平面內”這一限制條件.

要培養學生知識的條件化，教師應注意滲透，將特殊問題中的一般性條件單獨抽取，激活學生已有知識，提升運用知識解決實際問題時的通性、通法，獲得認識上的提升，促進學生的認知結構不斷生長，快速完善，并形成較好遷移［2］.

例如，如果依次將任意一個四邊形四條邊上的中點連接，那么所得的四邊形是什么四邊形？我們可以進行以下的變式訓練：

變式1：如果依次將一個平行四邊形四條邊上的中點連接，那么所得的四邊形是什么四邊形？

還可將此題中的平行四邊形進行改變，可以為菱形、矩形、正方形、等腰梯形，想一想：改變之后可得什么四邊形呢？

變式2：（1）如果我們想得到的圖形為菱形，可以依次連接哪種四邊形四條邊的中點？

（2）如果我們依次連接某種四邊形四條邊的中點，得到了一個矩形，那么，這個四邊形的對角線需（ ）.

A.相等并且垂直 B.垂直并且平分

C.相互垂直 D.相互平分

變式3：如圖1，已知四邊形ABCD，其中AC=6，BD=8，AC⊥BD，依次連接四邊形ABCD的四條邊AB、BC、CD、AD的中點，可以得到四邊形A1B1C1D1，接著依次連接四邊形A1B1C1D1的四條邊的中點，可以得到四邊形A2B2C2D2……以此類推，最終得到四邊形AnBnCnDn.仔細探討，并解答：

圖1

（1）求最終所得的四邊形AnBnCnDn的面積；

（2）求四邊形A5B5C5D5的周長.

從以上案例中可以看出，在數學課堂教學中，教師可以不斷變換方式去合理運用教學素材，從不同的角度，選用不同的方法，幫助學生逐步走出簡單思維的窠臼，通過不斷變換方法與范圍運用知識，獲得認知上的不斷提升，加速思維的節奏，在變式中求創新，引導思維結構的發展，讓思維具有靈活性、廣闊性、延展性，并不斷培養學生的數學求異思維.

二、習題教學，應注重知識策略化的培養

所謂的“策略性知識”，就是教會學生學習與思維有關的知識.它位于知識結構的最頂端，是對學生學習和思維的調節.正確把握策略，不但可以將知識運用的范圍減小，還可以提升運用的速度.教師在指導時，不僅需將解決問題的方式教給學生，還需培養學生自我調控思維的方式.

解題離不開聯想，借助聯想可以更好地形成問題與知識之間的聯系，從而遷移已有解題經驗.不過，如何合理展開聯想呢？數學教師可以借助習題教學進行系統指導.

一般意義上來講，教師進行有策略的教學，首先，需有寬廣的數學學科策略，從而實現對其他學科的遷移；其次，需凸顯解題時采用的一般策略與重點策略；最后，需注重和具體教學方法相融合.

例1如圖2，已知p+q+1＜0，求證：1在x2+px+q=0的兩根之間.

圖2

本案例中，如果按照一般解題方法解題，先運用求根公式去求此方程的兩個根x1、x2，再進行求證，會陷入解題誤區.所以，必須尋求其他的解題思路.

假設y=x2+px+q.顯然，此拋物線的開口是向上的.如果x=1，那么y=p+q+1.已知p+q+1＜0，則點（1，p+q+1）位于x軸下方，所以方程有兩個根x1和x2，并且1位于這兩個根之間.

第二種解題方法顯然沒有使用一般思維進行思考，而是巧妙使用了圖像法，并成功破解難題.

例2三角形三邊的長分別為a、b、c，求證：方程b2x2+（b2+c2-a2）x+c2=0根的情況為沒有實數根.

本題是融合了代數與幾何的一道綜合題，從數學實質上來講，它涉及了一元一次方程、不等式、二次函數等.學生首先需聯想什么條件下一元二次方程不存在實數根.此題的本質是需證明題中方程根的判別式Δ=（b2+c2-a2）2-4b2c2＜0成立，并據此去聯想因式分解.分解因式后，繼續聯想三角形三條邊之間的關系，據此判別連乘積的符號，最后得證.

在數學解題的過程中，我們采用的基本策略有：列舉法、轉化法、數形結合、一般與特殊化、整體與局部等.在課堂教學中，教師在進行解題策略的教學時，需做到由簡到難，逐步滲透；基于解題策略，精選巧妙案例展示其廣泛的應用，激發學生對已學策略的概括性認識；策略傳授需注重適時、適量，給予學生充足的消化理解時間.

三、單元教學，應注重知識結構化的培養

每個學生的知識存儲結構有所不同，所以在運用效率上也存在一定的差異.假如學生可以在大腦中形成系統的、相關聯的，并具有一定結構層次的系統知識，那么在運用的時候就會更靈活、更完善.換句換說，若學生大腦中的知識結構是“零散”“孤立”“碎片”的形式，那么運用起來也是割裂的、困難的.

在課堂教學中，注重知識結構化的培養，教師需立足于一個整體化的高度，將待學知識置于一個系統化的結構框架中，深入分析教材，融通各個知識點之間的關聯，不斷滲透知識結構上的整體意識.通過教學，將學生頭腦中的知識串聯成線狀，鏈接成鏈狀，結合成網狀，形成系統的網絡知識結構.教師在對每個單元進行教學時，引導學生將一些在廣泛區域內運用的知識，置于一個更為寬廣的區域進行教學，從而串聯所有數學知識.

例如，筆者在教學完“二次函數”這個章節之后，帶領學生從二次項前面的系數、拋物線開口的方向、對稱軸、增減性、頂點坐標、最值等關鍵要素出發完善“二次函數”的知識結構圖，促進知識結構化延展.

實踐經驗表明，若想培養學生數學知識的結構化，需要教師引導學生學會“融通”不同知識的能力.教師通過數學課堂教學，借助綜合練習和一題多解等訓練，實現不同知識之間的串聯，實現數學知識的縱橫聯系，互相滲透.在不斷的學習中，有效促進學生大腦中知識結構的不斷完善和優化，并實現在其他學科中的遷移運用.

總之，數學課堂教學中，數學教師需深度研究教材，借助師生之間的互動，進行教學反饋，將學習策略滲透到各種教學中，不斷優化學生的知識結構，提升學生的知識運用能力，發展學生的思維品質，培養學生的數學學科核心素養.