理解結構　建立模型　解決問題

孫祝華

[摘 要]解決數學實際問題是學生在小學階段的重要學習任務之一。以“比一個數多（少）幾的實際問題”教學片段為例，通過解決數學問題來提升學生的邏輯思維能力和抽象思維能力。

[關鍵詞]理解結構;建立模型;解決問題;思維能力

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）17-0018-03

課程標準提出：“使學生能夠解釋和掌握所學知識，并且能夠運用這些知識去解決日常生活和生產勞動的一些實際問題。”解決數學問題能讓學生學會理解和分析數學信息，聯系并運用已學的數學問題、數學思想、數學技巧來找到解決實際問題的方法。

下面以“比一個數多（少）幾的實際問題”教學片段為例進行論述。

【教學片段1】復習兩個數相差多少的實際問題并用圖片展示（圖略），讓學生用學過的知識比一比、說一說。

生1：圓形比三角形多6個，列式：13-7=6。

師：說說算式13-7=6的意義和其中每個數表示的意思。

生2：這里減去的7是指7個三角形。

師：這里減去的7表示的是圓形里面與三角形個數相等的7個。

【教學片段2】題目“小英有11朵花，小華比小英多3朵，小華有多少朵花？請用圓片和三角形擺一擺。”

師（在學生一眼就看出小華有14朵后）：如果沒有圓片和三角形怎么辦？

生1：可以列式 11+3=14。

師（指著11+3=14）：說說每個數表示什么意思。

生2：這11是小英的11朵。

（雖然教師多次糾正學生的錯誤，指出這11是小華和小英同樣多的11朵，但是收效甚微，在下一個環節——學習“比一個數少幾”的問題時，學生依舊犯了同樣的錯誤。）

（整節課學生就糾結在了“此11朵非彼11朵”的意義理解里，學生在“繞口令”一樣的算理中似乎知道了“比一個數多幾用加法計算，比一個數少幾用減法計算”，但有沒有真正理解這類數學問題的本質就要打上問號了。）

思考：學生能夠發現小華的朵數是在與小英的朵數比較，但在擺的過程中只是直覺感知14朵是比11朵多3朵，所以就自動認為這11朵就是條件告知的小英的11朵了，沒有真正理解小英的11朵是標準量，小華的朵數是比較量，比較量應該分成兩部分：一部分是和標準量同樣多的部分，另一部分是比標準量多的部分。而理解“和標準同樣多的部分”對低年級學生來說是有一定的困難的，于是就出現了把上面小英的11朵拿來“張冠李戴”的現象，這歸根結底是學生沒有厘清這類數學問題的基本結構。

策略：解決數學問題一直是數學教學改革的聚焦點之一，專家對此的研究很多，而一線教師則希望這些理念和方法更具有操作性，從而培養學生“解決問題”的核心素養。在解決“求比一個數多（少）幾”的實際問題之前，學生已經有了解決“兩數相差多少”的實際問題的基礎，因此可以采用“螺旋上升”的教學方式，讓學生的思維代替簡單的重復，用深刻的思維模式達成簡約明快的教學結果，解決上述教學片段中出現的教學問題。

【重新設計教學】

一、喚醒舊知

1.喚起比較的有效操作

師（出示一堆圓片和一堆三角形）：這里有兩堆圖片，怎樣看一眼就知道三角形和圓片誰多誰少？多幾個？還是少幾個？

生1：可以擺一擺，一個三角形對齊一個圓片。

生2：擺完后就能一眼看出誰多誰少了。

（讓一名學生上臺擺一擺）

2.直觀感知○和△的關系

師：從擺好的圖中你知道了什么？你是怎么知道○比△多6個的？

3.理解標準量和比較量的關系

師：說一說○可以分成哪兩部分？（教師用虛線畫出）

生1：7個△和6個○。

師：7個△是圓嗎？

生2：7個○和6個○。

師：7個○和上面的7個△比，能發現什么？也可以說成7個○和7個△怎么樣？（同樣多）6個○是比誰多的部分？誰來完整地說說○可以分成哪兩部分？

生3：○可以分成7個和△同樣多的○和比△多的6個○。

（教師指名幾個學生說一說）

4.專項練：說說比較量可以分成哪兩部分

師：誰多？多的可以分成哪兩部分？

二、理解結構

出示：

師：從圖中能知道什么？要求什么？

師（出示題目：紅花有11朵，黃花比紅花多3朵，黃花有多少朵？）：誰和誰比？誰多誰少？求多的數還是少的數？多的數怎么求？把哪兩部分合起來？

師：算式怎么列？

生1：11+3=14。

師：11、3分別表示什么？如果紅花變成30朵，黃花比紅花多15朵，也這樣擺一擺嗎？（學生表示這樣做太麻煩了）

師：我給你們介紹一個學習好幫手——紙條圖。

師：（1）先擺放哪種花的紙條圖？（2）黃花的紙條圖和紅花的紙條圖相比，你覺得是長還是短？為什么？（3）如果把黃花的紙條圖分成兩部分，你覺得是哪兩部分？怎么擺？

師：看著擺好的紙條圖說一說黃花的數量怎么求。

生2：把黃花和紅花（標準量）同樣多的部分和比紅花（標準量）多的部分合起來。

師：看著紙條圖說說思路，對于算式“30+15=45（朵）”，分別說說30、15分別表示什么。

師：如果沒有紙條圖，你能在腦海中想出紙條圖的擺放方式嗎？

師：請你在頭腦中想象黃花的朵數是把哪兩部分合起來。

三、建立模型

出示練習題：

白兔有15只，灰兔比白兔多5只，灰兔有多少只？

（1）讓學生在頭腦中想象條形圖。

（2）提問：怎么求灰兔的只數？也就是大數怎么求？

[板書：? ? 和標準量同樣多的部分? +? ? 比標準量多的部分] [大數]

【反思】

一、構建橋梁，提升認知結構

學習本節課內容之前，學生已有的知識經驗是會解決“求一個數比另一個數多（少）幾”的實際問題，也就是“已知兩個數的大小，進行比較，求出兩數相差多少”的實際問題。其中從“大數中去掉和小數同樣多的部分”也就是從大數中去掉和標準量同樣多的部分是解決這類數學問題的核心，同時這又是解決“求一個數多（少）幾”的實際問題的基礎。教師通過“喚起比較”的有效操作，讓學生不僅回憶了舊知，而且構建了走向新知的橋梁;接著通過直觀感知○和△的關系，讓學生明確這兩個量中，一個是標準量，一個是和它進行比較的，是比較量;在初步建立標準量和比較量的相對概念后，再讓學生把比較量分成兩部分，即標準量和比標準量多的部分。通過觀察實物圖，學生能清晰地感知：求多的數就是把兩部分合起來，這兩部分就是和標準量同樣多的部分和比標準量多的部分。這樣就通過構建橋梁讓學生基于已有的舊知和經驗逐漸生成新知。雖然這是兩類不同的解決問題類型，但是都屬于“兩數之間比較”的問題范疇，而且符合學生螺旋上升的認知結構。心理學研究表明：學生的認知結構就是一個不斷生成、不斷擴充、不斷完善的進行時結構，讓學生的大腦不斷搜索，從雜亂無章的知識儲備中尋找已有的舊知基礎，通過橋梁作用，從已知探索未知，就能幫助學生的思維從零亂走向有序，從局部走向整體，努力讓學生做到用發展（生成）代替簡單重復，不斷完善學生的認知結構。

二、數形結合，理解問題結構

小學生的思維是從簡單、具體的形象逐步向復雜、抽象的概括發展的過程，要讓學生的思維不斷深刻和深入，教師就要想辦法讓學生逐步擺脫實物和操作活動：先借助數和圖形的有機結合，讓學生從紛繁雜亂的物體、顏色、形狀等干擾中走出來，知道“已知什么，要求什么”，從而理解這類問題的基本結構;接著把數據改大，讓學生覺得繼續用擺一擺的方法太麻煩，從而水到渠成地介紹如何用紙條圖來解決問題。為了讓學生把紙條圖和數據對應起來，教師還要讓學生深入思考：①先擺放哪種花的紙條圖（已知紅花30朵）？②黃花的紙條圖和紅花的紙條圖相比，你覺得是長還是短？為什么？③如果把黃花的紙條圖分成兩部分，你覺得是哪兩部分？怎么擺？這樣，數量的多少與圖形的長短形成了一一對應關系，紙條圖之間的組合方式和它們之間的數量關系也建立了一一對應關系，學生的思維很快就在簡單具體的紅花、黃花的比較事件中逐漸淡化，轉移到兩條紙條圖相應數據對比的數學問題中來。這時，學生的具象思維逐漸向表象思維發展，通過想象“黃花的朵數是把哪兩部分合起來？”進一步抽象概括，學生就能理解這類問題的結構，即和標準量同樣多的部分和多的部分合起來就是大數，建立解決這類問題的初步模型。

三、建立模型，完善整體結構

在學生的思維從簡單走向深刻，從具象逐步向表象發展時，教師還應幫助學生建立解決實際問題的模型，不斷讓學生有意無意地把數學知識系統化、結構化和整體化，既讓學生在探索中學習和成長，又讓學生形成自主探索、總結歸納的學習方法。

在練習板塊中，教師出示題目后不擺紙條圖了，直接讓學生在頭腦中想象紙條圖及對應的數據，這無疑提高了思維的難度和抽象性，迫使一部分學生產生用數學模型來解決這類問題的需求，所以有學生直接說出了“和標準量同樣多的部分+比標準量多的部分=要求的大數”這樣的初步數學模型。教師通過板書，把數學模型再進一步結構化，并由此推出求小數的數學模型;接著讓學生看到題目后首先判斷是求大數還是小數，大數怎么求（說出數學模型），小數怎么求（說出數學模型）;最后引導學生將其和已學的“求相差問題”進行比較，對如何解決已學的相差問題也建立數學模型，把它們都整合到“兩數比多少問題”這一類解決問題中來，完善這類問題的知識結構，學生以后看到這類問題就會自覺地將其歸為一類，并用數學模型來解決。

綜上，解決實際問題的教學，應引導學生用全局的觀念、整體的結構進行分析和思考，通過聯系前后知識，弄清知識結構間的內在脈絡;從低年級開始逐步引入紙條圖模式來幫助學生解決問題，為以后進一步學習“兩數之間的倍數關系”問題和“兩數之間的分數（小數）關系”問題做鋪墊。學生初步學會建立數學模型后，認識將不斷發展，思維將不斷深入和深刻，學生的認知將從局部性的“生成性認識”逐步向整體性的“結構性認識”模式發展。

（責編 金 鈴）