對一道課后習題引發概率問題的思考

朱艷

[摘 要]對于教材上關于球賽獲勝的概率問題，教師提出了不同的觀點，教材對相關概率知識也做了介紹。綜合分析后可知，在計算隨機事件發生的概率時，不能用已經發生事件的結果去推斷未發生事件的結果。

[關鍵詞]球賽;獲勝;概率;判斷

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）17-0027-02

判斷生活事件發生的可能性，是數學概率計算的初等內容。小學生由于沒有學過排列組合知識，無法應用排列組合法算出一次獨立實驗指定基本事件發生的可能性，所以只能應用一一枚舉法將所有基本事件的可能性全部列出，清點數量，然后數出特定目標事件的數量，最后再用除法計算出比例，即該事件發生的概率。但是，概率在一定程度上也能通過多次重復實驗中同一事件出現的頻率來反映，有時某些概率類型只能通過這一方法反映，如球賽的獲勝概率，因為這種概率與球隊的踢球水平緊密相關，而球隊的實力是很抽象的，無法量化。

一、對球賽獲勝概率問題的幾種觀點

人教版教材第十二冊104頁第7題是一道關于球賽獲勝概率的題目。題目如下：

甲、乙兩個足球隊對壘5場，比賽成績如下表。如果兩隊再進行第六回合的交鋒，請預測哪一個球隊取勝的概率大 為什么？

備課時，數學教研組圍繞究竟“哪個隊取勝的概率大？”這一問題展開激烈辯論，正反雙方各執一詞，相持不下，存在很大分歧。

觀點一：兩隊取勝的概率相等，都是“[12]”。理由：《教師教學用書》提到：“從兩隊對戰的歷史記錄分析，均是勝兩場、平一場、輸兩場，旗鼓相當;從這個角度分析，再戰一場，兩隊取勝的概率相等，均為[12]。”

觀點二：乙隊取勝的概率大。理由：《教師教學用書》提到：“細心觀察表中數據可發現，在最后兩場對戰中，乙隊連連贏得比賽，表明最近乙隊遇強愈強，勢頭正猛，而甲隊則戰力衰退，節節失利，因此做出預測：乙隊贏得第六場比賽的概率更大。這種分析也合情合理。”

觀點三：甲、乙兩隊取勝的概率相等，都是[25]。理由：分析已經分出勝負的五場比賽的比分結果，兩隊各有勝兩局、負兩局、平一局的賽績，因此，兩隊取勝的場數均占球賽總場數的[25]，兩隊戰平的場數占總場數的[15]。

觀點四：甲、乙兩隊取勝的概率相等，均為[13]，平局的概率也是[13]。理由：由于兩隊對陣，每場比賽只會出現三種結果，即甲勝乙負、甲負乙勝、甲乙平局，所以，每一種情況均占所有可能出現結局的[13]，換言之，兩隊取勝的概率相等，都是[13]，戰成平局的可能性也是[13]。

二、教材對于概率相關知識的介紹

現在通用的小學數學教材中有關概率知識的課程，教學一般分為三個階段：第一個階段，讓學生明白有些事件的發生是必然的，有些事件的發生則是偶然的或者隨機的;會用“可能”“一定”“不可能”等詞來陳述事件發生的概率。第二個階段，讓學生明白隨機事件發生的概率是可以區分大小的，也就是說可能發生的事件，其可能性是不一樣的，有的事件發生的概率較大，也就是發生得較為頻繁，而有的事件發生的概率較小，也就是發生得較為稀少。第三個階段，教會學生利用分數形式來定量刻畫隨機事件發生的概率大小。前兩個階段只是定性分析事件發生的概率的特征，這部分課程被安排在人教版教材第五冊。第三個階段是定量刻畫事件發生的概率大小，這部分課程被安排在人教版教材第九冊。

判定事件發生的概率都是一種預測，都是對還未發生但即將發生的事件做出科學預判，對已然發生的事件而言，只存在確定性，不存在“概率”一說。以拋擲硬幣為例，拋幣之前可以猜想“正面向上”和“正面向下”的概率都是[12]，拋幣之后，由于不是正面向上就是正面向下，兩種結局必定出現一個，因此，如果正面向上，則“正面向上”和“正面向下”都是確定的，只不過，“正面向上”碰巧發生了，“正面向下”不巧沒有發生。求某隨機事件發生的概率，其實就是要算出在大量重復試驗后，該基本事件出現的次數占實驗總次數的比例。例如，一個仿制的骰子，六個面上分別刻印著1、2、 2、3、3、 3六個數字。將骰子拋擲，待骰子落定，數字2朝上的概率是[13]（或[26]）。這是因為將骰子拋擲后，每個面朝上的機會均等，寫有數字2的面有2個，所以數字2朝上的概率是2[÷]6=1[÷]3=[13]。

三、已知事件不影響未發生事件的概率判斷

筆者認為，上述四種不同的觀點中，觀點四是正確的，即甲、乙兩隊取勝的概率相等，都是[13]。其余三種觀點看起來頭頭是道、鞭辟入里，仔細分析后發現是經不起推敲的，因為它們都犯了一個“致命”的錯誤，那就是將兩球隊的歷史賽績作為判斷下一場球賽勝負的依據，這是不合邏輯的。這是因為，即使是某一球隊連勝五場，幾乎完勝對手，也無法確保該球隊下一場比賽還是必勝。在全球各類大型足球賽事中，著名的弱隊戰勝強隊的戰例也是存在的。這正應了那句戲言：“足球是圓的，什么情況都有可能發生。”

再以拋幣為例，如果已經拋擲4次硬幣，剛巧每回都是“正面向上”，那么，第五次拋幣“正面向上”的概率照舊是[12]，連續拋幣五次“正面向上”的概率僅僅是[12×12×12×12×12=132]，而絕不能因為前面4次“正面向上”的結果，就認定第五次投擲結果也是“正面向上”。

綜上所述，在計算隨機事件發生的概率時，不能簡單地將重復實驗中同一事件發生的頻率作為獨立實驗時該事件發生的概率，也就是說，不能用已經發生事件的結果去推斷未發生事件的結果，只能用一次獨立實驗后指定事件可能出現的所有次數除以全部基本并列基本事件的總數。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 張澤慶.促進小學數學活動經驗積累與應用的策略初探：以“統計與概率”教學為例[J].小學數學教育，2018（19）：6-8.

[2] 丁海峰.小學數學概率統計的教育價值與教學例析[J].小學教學參考，2016（35）：50-51.

[3] 康云龍.小學數學概率教學的問題與對策[J].江西教育，2015（30）：58-59.

[4] 韋小玲.小學數學統計與概率教學中存在的問題探討[J].小學教學參考，2014（27）：31.

（責編 黃春香）