變式中走向深刻
——特級教師李步良《小數的初步認識》練習賞析

薛正檜

數學學習離不開練習，好的練習事半功倍。在練習設計中充分利用變式，是教師單位時間內提高教學效率，促使學生進行深度學習的應然選擇。2019年3月，在江蘇省“青年教育家型教師培養工程”名師送教活動中，李步良老師執教了《小數的初步認識》一課，課中的兩處練習設計新穎獨特，令人拍案叫絕。

一、為了知識系統的牢固

在學生初步認識了一位小數，并且知道“十分之幾”可以表示成“零點幾”以后，李老師安排了一道變式練習。

片斷1：

師：把這個正方形看作“1”，圖中的涂色部分用哪個小數表示？

生1：用0.4 表示。一共5 份，涂了4 份，就是0.4。

師：有不同的想法嗎？

生2：應該是0.5，因為只有平均分成10 份的時候，涂了4 份才是0.4，這里一共有5 份，所以0.5 才對。

生3：是5.4！

師：一個正方形才是“1”，5.4夠嗎？

生3：5.4 吧？

生5：反面還有5 份。（全場哄堂大笑）

師：如果反面真有5 份的話，說說你的看法。

生5：反面還有5 份，那就是平均分成了10 份，涂4 份，也就是寫成小數就是0.4。

師：有一定道理。但這是一個平面圖形，只有一個面，它就是平均分成5 份的。真的找不到合適的小數嗎？

生：橫過來再分一下。

（其他學生紛紛贊同）

師：為什么要橫過來再分一下？

生：因為“十分之幾”才好表示成“零點幾”。

師：那現在用什么小數表示？

生：0.8！

師：通過剛才這道題的解答，你們有什么感想？

生：表示小數的時候，不能只看涂了幾份，還要看平均分了幾份。

【賞析：從上世紀80年代以來，在有關中國數學教育和中國學生數學學業成就的國際比較研究中，出現了一個引人注目的、相互矛盾的結果，暫且稱之為“中國數學學習悖論”。一方面，中國學生的數學成績明顯優于西方學生，令人羨慕；另一方面，西方研究者發現中國的數學學習屬于典型的“被動灌輸”和“機械訓練”，不可能產生“好的學習”。針對這種情況，宋乃慶、張奠宙等前輩為我們指明了方向，他們創造性地提煉出了我國傳統教學中的四大經驗，其中一條是“依靠變式提升演練水平”。通過恰當的變式教學，建立起學習者新舊知識的合理與實質性的聯系，使得他們的學習成為有意義的學習（對變式教學的不正確應用導致的“題海戰術”另當別論）?，F在倡導素質教育，主張深度學習，重新審視“變式”，我們發現它能使學生的學習由膚淺走向深刻，由表面走向本質。

以李老師這個教學片斷為例。在前繼學習中，學生雖然已經知道十分之幾的數可以用一位小數表示，一位小數就表示十分之幾，在“十分之幾”與“零點幾”之間建立了等價關系，但沒有干擾信息的標準表述不具有辨析的實際意義，也無法讓學生真正理解小數的本質。在一個新的問題情境下，學生究竟從其概念系統中提取哪一個屬性來解決問題很關鍵。提取的是本質屬性，還是非本質屬性將體現出不同的學習、理解層次。有些學生受強信息的影響，以為十分之幾中的“幾”與零點幾中的“幾”是一組關鍵連接點，自然認為“涂了4 份就是0.4”；有些學生模糊感覺“幾”份就是零點“幾”，錯誤地把平均分成幾份中的“幾”與零點幾中的“幾”建立了聯系，表示成了“0.5”；甚至于有學生亂點鴛鴦譜，直接拼湊數字說“5.4”等。這些情況的出現都說明他們還是沒有從本質上去認識一位小數的意義，小數是十進分數的另一種書寫形式，“十進制”是理解的關鍵點之一。以一位小數為例，沒有平均分成十份，就無法直接標明十分之幾中的“幾”，自然也就無法根據涂色的份數來寫出對應的小數了。李老師借“5 份中的4 份”這一變式“迫使”學生對小數的認識向深層次邁進，他把“幾分之幾”“十分之幾”“零點幾”這幾個相近概念的邏輯關系描述得一清二楚，使學生的知識系統更加牢固?！?/p>

二、為了經驗系統的豐盈

在學生認識了整數部分為0的純小數后，為了幫助學生建立起帶小數的表象，同時也為后繼數軸的理解打下基礎，李老師設計了一組連環變式。

片斷2：

師：用1 個正方形表示1 元，怎么表示出1.2 元呢？

生：這個正方形不動，再畫一個正方形平均分成10 份，涂2 份。

師：1.2 元在哪里？

生：左邊表示1 元，右邊表示0.2 元，合起來就是1.2 元。

師：我把這幅圖變一變（上下壓縮），現在還能表示1.2 元嗎？

生：變成長方形了，不能。

生：雖然變成了長方形，但它還是平均分成10 份的。

師：也就是說，現在把什么看作1 元了？

生：長方形。

師：（再次壓縮圖形）它能表示1.2 元嗎？

生：能。

師：（逐漸演變成了線段圖）現在還能表示出1.2 元嗎？

生：不能！顏色都沒有了，怎么表示??？

生：怎么不能？這不還是平均分成10 份嘛？可以在線段上涂顏色。左邊是“1”，右邊再涂2 小格，合起來就是1.2。

師：其實不用在線段上涂顏色，在下面加個大括號也是可以的。正方形、長方形、線段都能表示出1.2 元。還可以怎樣表示1.2 元？

生：

……

生：無論什么圖形都可以表示1 元，然后再表示出0.2 元，合起來就是1.2 元。

師：概括得真好。我們把這個線段再變一變（左右連接），你能很快找出1.2 元嗎？

生：在“1”的后面數兩格。

生：不對，還應該包括左邊的“1”呢。

【賞析：在概念的外延集合中，雖然從邏輯的角度看，每個對象的地位都是同等的，但其中確實有些對象具有特殊性。比如，一些對象由于受感性經驗的影響，或者引入概念時先入為主，不自覺地就成為某個概念的標準形式。標準樣式有利于學生對概念的準確把握，也利于教師教學的“方便”，但它極易形成學生的思維定勢，沒有了靈活性，甚至不恰當地縮小概念的外延，把一些非本質屬性上升為本質屬性，從而形成錯誤的概念。運用“非標準形式”，以不同的表征方式來凸顯概念的內涵就成了必需。在上述片斷中，正方形、長方形、線段、圓、小三角形的集合等都是單位“1”的載體。豐富的概念外延讓學生明白了：具體的實物、圖形不是認識小數的對象，平均分成的份數及表示的份數才是認識小數的聚焦點。

李老師上個設計“5 份中的4份”屬于“混淆外延式變式”，這個設計“表征1.2 元”屬于“擴充外延式變式”，它們都較好地幫學生建立起了一位小數的知識系統。因為“表征1.2 元”是一組連續的變式，它同時也幫學生豐盈了認識的經驗系統，經驗系統的豐富性和有效性對完善認知結構極為重要。如果概念被認為是靜止對象時，通過一兩個不同類型的變式就能建立起正確認知。然而，如果概念是通過一系列過程的發展而形成的，那么對過程的理解也是掌握概念的重要方向。李老師在讓學生“表征1.2 元”時，巧妙設計，層層推進，直至形成數軸的原始模型，把學生理解概念的邏輯過程、歷史過程和心理過程糅為一體，創造了一個多層次的經驗和策略系統，學生必將終身受益?！?/p>