注重多重樣例提升解題效率
——例析畢業總復習《圓柱與圓錐》樣例教學的有效性

錢國平

畢業總復習階段的“樣例”課對學生掌握知識技能至關重要。在《圓柱與圓錐》的總復習中我注重多重樣例，為提升解題效率做了有效的嘗試，也收到了較為理想的效果。在復習《圓柱和圓錐》時，在預設經典樣例的同時，與學生一起剖析樣例的思路，讓學生由此及彼，更加明確概念，掌握思維方法，啟迪解題思路，培養思維能力，提高解題效率，有助于培養學生自我分析問題，獨立解決問題的良好習慣。以下是應用樣例進行復習的具體實施過程。

一、設計概念題時，突出重點，讓學生從對概念的“一知半解”轉變為“一清二楚”

（一）重點問題

在具體的計算過程中，好多學生往往在計算圓錐體體積時，丟了“三分之一”。

（二）具體策略

針對學生計算圓錐體體積時丟“三分之一”這個問題，我選取了有針對性的實驗操作。

1.解決思路。

探索等底等高的圓錐體積與圓柱體積之間的關系，概括出圓錐體積的計算公式。在與圓柱體積的對比中明確圓錐體積計算時不能丟掉“三分之一”。

2.具體方法。

（1）正例強化：在圓錐形容器里裝滿水，然后把水倒入與圓錐形容器等底、等高的圓柱形容器中，要倒幾次才能恰好注滿圓柱形容器？

（2）反例突破：然后再出示高相等、底不同或者高不同、底相等的實驗，進一步證明必要條件是“同底等高”。

從這個實驗里我們得出：圓柱形容器的體積是和它等底、等高的圓錐形容器的3 倍；反過來說，圓錐形容器的體積等于和它等底、同高的圓柱形容器的

二、設計計算題時，突破難點，讓學生對計算題由“一錯再

錯”轉變為“一網打盡”

（一）難點問題

圓錐的體積的整理和復習類同于前面圓柱體體積的復習，但跟圓柱有區別的是，這里先讓學生根據旋轉軸想象出兩個不同的圓錐——學生的思維停留在軸與水平面垂直的旋轉（圖2），而沒有考慮軸與水平面平行的旋轉（圖1）。

（二）具體策略

1.解決思路。

教師要引導學生“種出”這兩棵不同的“樹”，再根據學生想象所得的圖形，分別計算它們的體積，最后再出示圖形來驗證想法是否正確。這樣可以更好地發展學生的空間想象能力，培養學生的實證能力和習慣。

2.具體方法。

（1）出示用來旋轉的基本圖形。

（2）用基本圖形旋轉出新圖形。

（3）分別計算旋轉成的新圖形。

圖1

圖2

師：你發現了什么？

生：同一個直角三角形，通過旋轉，得到兩個不同的圓錐，體積是不一樣的。

（4）對比交流中實現拓展延伸。

圓柱和圓錐之間有很多的聯系和區別，現在你能給下面的四個圖形找找聯系嗎？

圖1

圖2

圖3

圖4

引導學生得出：圖1和圖3等底等高，圖2和圖4等底等高；圓錐的體積分別是圓柱體積的圓柱體積分別是圓錐體積的3 倍。

通過以上這些直觀演示、形象比較和有針對性的練習，學生計算出錯率明顯降低，收效顯著。

三、設計應用題時，突出疑點，使學生解題從“一籌莫展”轉變為“一覽無疑”

（一）重要疑點

二分之一高度的圓錐體積是原圓錐體積的幾分之幾？學生對于這樣一個問題是有疑惑的，如果沒有比較好的教學方式，學生是非常容易做錯的。

（二）具體策略

1.解決思路。

通過兩例非常有針對性、有共同點的案例分析，讓學生清晰地明白：二分之一高度的圓錐體積是原圓錐體積的八分之一；或圓錐體積是它二分之一高度的圓錐體積的八倍。

2.具體方法。

（1）例1：實例中提煉規律。

如下圖所示，圓錐形狀的容器內盛有1.2 升水，水面高度正好是圓錐高度的一半，這個容器里還能裝多少升水？（水面高為，水面半徑為）

容器還能裝水1.2×（8-1）=8.4（升）。

（2）例2：實例中應用規律。

通過以上兩例非常有針對性、有共同點的案例分析，讓學生清晰地明白：二分之一高度的圓錐體積是原圓錐體積的八分之一；或圓錐體積是它二分之一高度的圓錐體積的八倍。

四、設計思考題時，突出考

點，促學生由“一頭霧水”轉變為“一目了然”

（一）重要考點

例：把一個棱長為8dm 的正方體木料加工成一個最大的圓柱體，求其體積。

大多數學生對這個題目會感到一頭霧水，不理解“最大”是什么意思，無從下手。

（二）具體策略

1.解決思路。

對于這樣的例題，我們解決考點的最好辦法就是讓學生親身體驗，利用具體的實物讓學生感覺例題圖形的產生過程，有利于后續的正確解答。

2.具體方法。

通過具體的實物演示，進行模擬的切割，讓學生明明白白知道“最大”的意思，那么求體積也就迎刃而解了。

圓柱的最大底面積：

3.14×（8÷2）2

=3.14×16

=50.24（平方分米）

圓柱的最大體積：

50.24×8=401.92（立方分米）

答：圓柱的體積是401.92 立方分米。

經過具體的實踐，我們更加發現了樣例學習的優越性，主要表現在以下四個方面：

其一，樣例學習能夠減輕學生的認知負荷，因為樣例學習易化了認知技能的獲取，克服了抽象信息難以獲取的局限。特別是在幾何知識的教學中，對于學生正確理解相關問題非常有利。

其二，樣例學習可以幫助全體學生正確歸納所學規則，并根據問題的解決方法進行分類。能讓學生把注意力集中在已知條件、未知條件、當前問題的狀態上，引起注意力的高度集中。

其三，樣例學習有助于節約教學時間和解題時間。學習一個解答好的樣例比自己親自去解決一個問題更簡潔、更靈活。如果能長期堅持樣例教學，學生就可以一類一類地進行學習和鞏固相關知識。

其四，樣例學習改變了讓學生被動接受解題方法的現狀，極大地調動了各個層次學生的學習積極性，學生對自己的學習能力和解題能力的提升更有信心。