在“聯”和“通”中構建新系統獲得新見解
——關于《立體圖形的表面積和體積總復習》同課異構帶來的思考

蔣守成（特級教師）

據統計，小學數學教學時間大約有五分之一是用在整理和復習上的，相應地，教材編寫的“整理與復習”也占有一定的篇幅，既有單元的整理復習，也有整冊書的整理復習，教材在六年級下冊還用近一半的篇幅編排小學數學知識的“整理和復習”。我們該如何定位學生的整理和復習？在我看來，復習就是對已學過的知識進行重新學習，這種重新學習并不是對已學知識的簡單重復，而是進行更高層次的再學習，正如孔子所說：溫故而知新，可以為師矣。通過復習，把教材中的各部分知識進行歸納整理，綜合拓展，以達到鞏固提高、融會貫通的目的。那整理和復習教學的核心是什么？就是要幫助學生從認識事物的本質進而認識事物之間的有機聯系，讓學生充分經歷整理、分類、概括提升的過程，逐步完善學生已有的認知結構，促進學生形成結構化、系統化的思維方式，提升思維品質。杭州市和睦小學的胡勝平和常州市金壇區朝陽小學的譚亞鵬兩位教師同課異構蘇教版六年級下冊《立體圖形的表面積和體積總復習》一課，從整體的設計思路上明顯不同，但又帶著一些共性，他們都關注立體圖形內在的關聯，關注畢業復習課課型的特點，他們的設計從不同角度給我們以啟發與思考。

一、關注聯結，重視體系，促進學生編織屬于自己的知識類結構

結構性是數學知識的重要特點，整理和復習教學的核心目標之一是要讓學生平時所學的零碎知識系統化、條理化、清晰化，形成完善的認知結構，促使學生對知識有全面的、系統的認識與理解。

因此教學時胡老師和譚老師都注重構建系統，突出知識間的關聯，讓原本孤立的各個立體圖形的表面積和體積“拉幫結派”，展現網絡樣態，有力擴張學生的認知世界，讓學生站在系統的角度明晰聯系、關注區別，促進學生系統化、結構化的思維方式的形成。但他們構建系統的路徑不一樣，胡老師基于主題在以式想形中形成結構化的思維方式，譚老師基于學生的經驗在分類思考中建構。

1.在以式想形中溝通內在關聯，無中生有。

學生學習過的知識有些是“碎片”化的，有些是圍繞某一主題相互聯系起來形成一定的知識單元存在。數學家華羅庚說，“找另一條線索把舊的東西重新貫穿起來，這也是一種有利的溫習方法”。胡老師通過立體圖形的體積和表面積公式為線索來梳理、溝通內在的聯結，激發學生學習的主觀愿望，將碎片納入到主題結構，發展學生的思維能力，形成新的結構體系，其教學通過三個流程來創造了學生主動思考的事件。

（1）以式想形，獨立思考?？吹竭@兩個公式：V=Sh S=S側+S底×2，你想到了可以求哪些圖形的體積和表面積？請你寫在練習紙上。

（2）聚焦體積，分享思考。通過資源呈現，信息綜合后學生形成一致觀點，不光“圓柱、長方體、正方體”的體積可以用“V=Sh 的方法來求，只要是上下底面大小相等的直柱體都可以用這個公式求體積。

（3）聚焦表面積，形成新系統。教師出示學生作品，這三個立體圖形雖然形狀不同，但相互之間有著密切的聯系，都是直柱體，所以它們的體積和表面積都可以用相同的方法來計算！

“以式想形”將原本“形”不相同的立體圖形聯系到了一起，從整體上建立知識間的縱橫聯系和層次結構， 構建起具有生長活力的認知結構和知識體系。這樣的復習方式打破了我們一貫的圖形分類，聯系和區別這樣物以類聚的思考模型，給學生們找到“以法類聚，無中生有”這樣另一種思考模型，豐富了學生自我建構知識結構的路徑。

2.在分類思考中構建知識體系，觸類旁通。

認知結構的優化，主體是學生自己，譚老師為學生提供了“哪些立體圖形能和圓柱歸為一類？”作為自主梳理知識的線索，請學生在研究單上寫一寫分類的理由，教師呈現學生的現實資源，通過如下四次學生資源交流，讓學生自主思辨，分類完善。

交流一：圓柱、圓錐、球為一類，因為它們都可以由一個平面圖形通過旋轉得到。

交流二：圖形運動除了旋轉還有平移。長方體、正方體、圓柱都可以由一個平面圖形通過平移得到。所以長方體、正方體、圓柱這三個圖形為一類。

交流三：長方體、正方體可以和圓柱歸為一類，因為它們的體積都可以用底面積乘高來計算，它們的表面積和側面積的計算方法也是一樣的。

交流四：追問，長方體、正方體、圓柱歸為一類的，那除了計算方法和平移外，這三個圖形還有什么共同特征呢？揭示像這些直直的，上下兩個面完全相同，而且上下粗細完全一樣的立體圖形，也叫做直柱體。

譚老師通過四次互動交流，幫助學生進行整體類化，并以旋轉、平移、計算、特征等方式再現和強化了立體圖形的內涵，很好地完成了知識橫向和縱向結構化，發現和理解五種立體圖形的內在聯系。學生在分類的過程中，不斷地讓知識在大腦中重組、排列、整合，逐漸形成網絡體系，也許最初看是雜亂無章的陳列，但在分類方法的幫助下，標準不同，圖形呈現出的分類情況也多樣化。圖形間那些千絲萬縷的聯系逐漸清晰，形成立體圖形表面積和體積內在的關聯系統。

二、凸顯融通，利用結構，幫助學生揭示知識內在聯系

鄭毓信教授提出：基礎知識貴在求聯，基本技能貴在求通?！罢砗蛷土暋钡暮诵哪繕酥且寣W生在自我思考的基礎上，揭示知識之間的內在聯系，同時知識與知識相互關聯過程中衍生出的新知識，能夠觸類旁通學數學，融會貫通用結構。這就需要我們對教材中割裂的、相互封閉的知識進行比較、融通、整合，利用內在結構獲得新收獲。

1.利用關聯，在解決問題中貫通方法。

胡老師設計了兩個連續性的情境化問題，讓學生在解決問題的過程中能夠利用立體圖形內在的關聯，化繁為簡，貫通方法?！澳膫€積木的涂色面積更大？”呈現的問題教師進行了有意的設計，而大部分學生還是選擇了直接計算（如下圖），這是情理之中的。因為高相等比較容易觀察，但是底面周長相等卻不是那么容易可以發現的。所以大多數學生還是愿意選擇直接計算。

我也欣喜地發現有學生關注到了底面周長（如下圖）。雖然沒寫完，卻已經有了這方面的意識。通過這份學生的作品引發全班學生的思考：他想表達什么意思？引導學生發現，當底面周長相等、高也相等時，要比較表面積的大小，我們只需要比較底面積的大小即可。胡老師讓學生發現這兩個立體圖形的表面積大小不但可以用以前的公式直接計算，還可以用S=Ch+S底×2 來比較。

“哪個積木的體積更大？”在比較體積時，有了前面比較表面積的經驗，我在課堂發現有將近一半的學生在比較時會有方法上的選擇。

上圖中，學生先選擇了三個等高的直柱體進行比較，通過底面積的大小比較出正方體的體積最大，然后算出圓錐的體積，最后進行兩者的比較。這是大多數學生選擇的方法，這也和胡老師的預設相符：有的可以直接比，有的必須要經過算一算才能得出結果。

也有的學生先選擇了等底的圓柱和圓錐進行比較，判斷出圓錐的體積大。有的學生利用了“方中圓”，快速地比較出了正方體和圓柱的體積大小。最讓人意外的是，還有的學生不僅觀察到圖形的特征，還觀察到了數據的特征（如下圖），認為不需要完全計算完圓錐的體積，只需要在代入數據后就能發現，四個算式（或四個圖形）都有一個共同的數據“4”，只需要比較“16＞5π＞15＞4π”即可，選擇了更為靈活的方法比較出了四個圖形的體積大小。

兩個問題的解決，給了學生思維能力提升的一次好機會，他們的思維方式不再受到限制，思考的角度更多元，解決問題策略更多樣，并能選擇合理的方法進行計算。學生在應用數學知識、解決實際問題的過程中，真正做到了觸類旁通。

2.用好結構，在系統思考中觸類旁通。

譚老師在兩個板塊中安排了兩個教材中沒有觸及的問題，讓學生在已有認知結構基礎上再建構的內容，觸類旁通學數學。

“求三棱柱的表面積、體積和圓柱的方法一樣嗎？”譚老師在學生形成類結構的基礎上讓學生自我探究，建構了直柱體的方法結構，最后通過微視頻再現的方式形成完整的研究過程。

把上面左圖中的三棱柱在高一半處切開，拼成一個近似的長方體，此時這個近似長方體的底面積是2S，高是所以三棱柱的體積也可以用底面積乘高來計算。三棱柱的側面展開也是一個長方形，底面是兩個一樣的三角形，側面積公式也是一致的。然后再做進一步的思考，發現求三棱柱等所有直柱體的體積和表面積的方法是一致的。

“圓柱的體積還可以用側面積的一半乘半徑?！弊T老師在學生掌握了直柱體體積一般方法的基礎上，設計了“草莓大棚內的空間有多大”的現實問題情境，在解決問題的過程中豐富解決問題的方法，打通了圓柱和長方體內在的關聯。

譚老師引導學生發現：如果將長方體的前面做底面，長方體的底面相當于圓柱側面積的一半，長方體的高相當于圓柱的半徑。長方體的體積=底面積×高，那圓柱的體積就等于側面積的一半×半徑。公式變了，但其求體積方法的本質沒有變。

“如何求三棱柱的表面積和體積”和“圓柱的體積還可以怎么求”這兩個問題“觸”及“圓柱”，“通”至“長方體、正方體”。將原本在每節課里獲得的“散裝”的知識與方法，在形成結構的背景下進行重新組織和構建，將原來彼此分割開來的方法聯結成新的統一的整體，在此過程中獲得新知識，產生新見解。

兩位教師的總復習課值得我們欣賞和分享的是他們都通過“聯”和“通”將建構認知結構放在首要位置，因為認知結構越穩固，越有利于吸納新的知識；他們精心安排學生學習活動，學生學會觸類旁通學數學、融會貫通用結構，新系統中學生獲得新知識、產生新見解，提升了學習力。

一節課不可能集結所有的精華，但不同的思考就會有不同的切入點和不同的課堂教學架構，從重構的角度來思考，我們也可以用思維導圖的方式從學生自我整理開始，在過程中貫通面積和體積的統一方法，由此拓展到直柱體和圓柱的新方法；也可以用主題研究的方式進行，以一張白紙為主題，通過折、卷、轉，變與不變等方式將立體圖形的表面積和體積等問題貫通起來；當然也可以由現實的具有挑戰性的問題解決開始，在解決問題的過程中聚焦方法、形成系統。

不同的架構只是我們課堂開始的觸點不一樣，我們的目標是一樣的， 構建知識體系，揭示內在聯系，不斷促進學生形成結構化、系統化的思維方式。對于整理復習課我們還可以做更系統的思考，“如何上好單元復習課”“如何上好期末復習課”“如何上好畢業復習課”，期待更多的人一起來實踐、來探討，敢于在不同階段的復習課上突破積習，推陳出新，對于下一節復習課，我們就有了努力的新方向。