課內導學課外研學
——《正方體的展開圖》教學實踐與思考

牛獻禮（特級教師）

【教學內容】

人教版五年級下冊《正方體的展開圖》。

【教學思考】

在五年級的練習或測試中，學生經常會遇到判斷一個圖形是不是正方體表面的展開圖的題目（如下所示）。

判斷：下面幾幅圖中，哪幾幅是正方體表面的展開圖？

這樣的判斷題，學生的出錯率很高。不得已，不少學生自發地“發明”了一些辦法，比如把展開圖描在紙上或者模仿著畫出圖來，再剪下來親手折一折，用親身實踐來驗證能不能圍成正方體，真是費時又費力！怎么幫助學生“擺脫困境”呢？于是，筆者萌發了針對“正方體的展開圖”專門上一節課的念頭，期望通過對“正方體展開圖”的研究，不僅讓學生發現正方體和長方體的展開圖的若干樣式，并能進行正確地判斷，更能促進學生空間觀念與直觀想象素養的培育。

正方體的展開圖一般可以分為4 大類共11 種形狀：“一四一型”“二二二型”“一三二型”“三三型”。如果只是把這11 種圖式借助教師的示范操作或課件演示，讓學生看懂并記下來，應對“解題”也沒有大的問題。但是，這樣將教學目標歸于“解題”的教學，學生最終還是靠“死記”來學習知識，與“圖形與幾何”內容教學的核心素養——指向“空間觀念的培養”相去甚遠，直觀想象素養和推理素養的培育得不到很好的落實。況且，這樣“死記硬背”式的知識的教學，學習方式注定是被動接受式的，學生也不會喜歡，記憶也不會長久，時間一久自然也就忘卻了。

那么，怎樣指導學生去研究“正方體的展開圖”呢？一節課短短的40 分鐘時間夠用嗎？顯然，如果給學生提供充分的“悟”的空間與時間，課堂時間是不夠用的。于是，根據學生的實際情況，筆者確定了“課內導學——動手操作與推理想象相結合，重點研究一四一型展開圖”與“課外研學——以探究性作業的形式呈現，重點研究正方體其他類型的展開圖”的教學思路。

方向一旦明確，目標也隨之清晰。

【教學過程】

●教學片斷一

先讓學生在課前自己準備的正方體紙盒上標出“上、下、左、右、前、后”，再按照要求沿著畫有紅線的棱剪開，得到正方體的展開圖（如圖1）。然后讓學生把展開圖重新折成正方體，仔細辨別展開圖中的各個面分別是正方體中的哪個面。

圖1

師：請大家仔細觀察這個正方體的展開圖，你有什么發現？

生：我發現正方體原來相對的面現在都是隔開的，比如上面和下面隔著一個后面，左面和右面也隔著一個后面。

師：想一想，相對的面可能連在一起，變成相鄰的面嗎？

生：不可能。

生：我發現，前、后、上、下四個面排成一列，左面和右面在兩邊，整個展開圖正好是一個軸對稱圖形。

師：左、右兩個面有點像你臉上的哪個部位？

生：兩只耳朵。

師：想一想，這兩只“耳朵”還可以長在哪里？大家想象一下。

生：兩只耳朵還可以長在最上邊或者最下邊（如圖2、圖3）。

圖2

圖3

師：這兩個圖形其實是同一種，只不過擺放的方向不同。想象一下，這個圖形能折成正方體嗎？

生：可以，因為連排的4 個正方形可以看成前、后、上、下四個面，而兩只“耳朵”正好是左面和右面。

師：如果左、右兩只耳朵長得不對稱（如圖4），這個圖形還能折成正方體嗎？

圖4

生：能，連排的4 個正方形可以看成前、后、上、下4 個面，而兩只“耳朵”還是左面和右面。

（師生共同動手操作，進行驗證）

師：像這樣，兩只“耳朵”不對稱的展開圖還有哪些情況？請畫出示意圖。

（學生獨立畫圖，小組討論交流）

出示圖5：

圖5

師：這個圖（圖5）是一個新的展開圖嗎？

引導學生將圖5和圖4進行對比，認識到圖5是圖4旋轉而成的，實際上就是同一幅圖，不能算一種新的展開圖。

出示圖6：

圖6

師：這幅圖（圖6）是一種新的展開圖嗎？

再次引導學生將圖6與圖4進行對比，認識到圖6是圖4翻轉得到的，實際就是同一幅圖，也不能算一種新的展開圖。

最后，學生確認還有以下3種形狀（如圖7、圖8、圖9）也能折疊成正方體。

圖7

圖8

圖9

師：如果圖形中有4 個連排的正方形，兩只“耳朵”在同一邊可以嗎？（如圖10、圖11）想一想，和同學議一議。

圖10

圖11

生：圖10不能圍成正方體，因為4 個連排的正方形可以看作前、后、上、下四個面，左邊的兩個正方形都是左面，重疊在一起了。

生：圖11也不行，它有兩個右面，缺一個左面。所以不能圍成正方體。

師：看來中間4 個連排的正方形的展開圖只有幾種呀？

生：6 種。

師：你能給這6 種展開圖起個名字嗎？

生：它們都是左邊一排有1個正方形，中間是4 個，右邊也只有1 個，可以叫作“一四一型”。

師：不知道大家想過沒有，為什么“一四一型”展開圖，只要中間4 個正方形不動，上面和下面的正方形不管擺在哪個位置，都能圍成正方體呢？

生：“一四一型”中間是4 個正方形，正好圍成一圈，這樣兩邊的2 個正方形就像兩個蓋子，不管原來連在哪一個正方形上，都能蓋上去。

（教師演示操作，學生直觀地看到并理解了“一四一型”展開圖都能圍成正方體的原理）

課上到這里就要結束了，給學生留的課后作業是：正方體的展開圖除了剛才發現的“一四一型”的6 種之外，還會有其他的樣式嗎？請你認真研究一下，并在作業紙畫出每一種樣式的示意圖。

【思考：“正方體的展開圖”主要依靠想象與推理來尋找答案。想象是在頭腦里改造記憶的表象而創造新形象的過程。“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動著進步，并且是知識進化的源泉。”愛因斯坦的這段對想象的高度評價絲毫都不過分。

但是，實事求是地講，對于五年級的小學生而言，僅憑自己的想象來判斷“正方體的展開圖”比較困難，親自動手操作一番再加以確認還是十分必要的。可以是在想象活動之前通過操作、觀察，建立一個正方體（或長方體）展開圖的初步表象，也可以是學生想象之后的操作驗證活動。而對展開圖更為豐富和深刻的理解還是要通過推理與想象來完成，也就是在推理過程中豐富對展開圖的理解和認識，探尋展開圖的分布規律，獲得解決問題的方法與策略。如果過度依賴直觀（動手操作），反而會導致學生想象能力的弱化。】

●教學片斷二

第二天的數學課上，讓學生來做“小老師”，借助實物投影儀向全班學生介紹自己的研究成果。

生：昨天我們研究的展開圖都有4 個連排的正方形，我就想，如果只有3 個連排的正方形呢？就畫出了這樣的展開圖：

圖12

然后我把它剪下來折一折，發現能夠圍成正方體。我就想：如果是2 個連排的正方形呢？于是就畫出了第二幅圖：

圖13

也剪下來折一折驗證了一下，發現也是能夠圍成正方體的。接著，我想，剛才的展開圖都是分成了三行，如果分成兩行可以圍成正方體嗎？6÷2=3（個），每行是3 個正方形，我就畫出了第三幅圖，驗證后也是正確的。（圖14）

圖14

師：你很會思考！又找出了3種展開圖，真了不起！其他同學還有補充嗎？

生：我也是先找到了中間有3 個正方形連排的展開圖（圖15），然后我固定中間的3 個正方形和下面的2 個正方形，再把上面的1 個正方形向右平移一格，就得到了一個新的展開圖（圖16），驗證后是正確的，再向右平移一格，又得到了一個新的展開圖（圖17），驗證后也是正確的。

圖15

圖16

圖17

師：他的思考方法很有價值！通過平移上面的正方形，由一個展開圖推理出了2 種新的展開圖，是一個很會思考的學生！現在我們找到的中間是3 個正方形的展開圖有3 種，能給這3 種展開圖起個名字嗎？

生：一三二型。

師：如果把圖中下面的2 個正方形也向左平移一格（如圖18），想一想，這個圖形能折成正方體嗎？

圖18

學生的意見不一，教師演示折疊過程，發現圖18不能圍成正方體。

師：看來，圖形中“田”字型的是不能圍成正方體的。現在梳理一下我們的研究成果，大家一共找到了幾種正方體的展開圖？

生：11 種。

師：這么多種展開圖，你有什么好辦法能記下來，不重復、不遺漏呢？

（學生討論后，全班交流）

生：“一四一型”一共有6 種，我先記兩只“耳朵”對稱的有2種，不對稱的先畫出一種，然后把其中一只“耳朵”不斷平移，就得到了另外幾種；“一三二型”也是這樣，只要畫出一種，再把一只“耳朵”不斷平移就可以找到另外2 種了。

師：這種思考很有序，不容易重復，也不容易遺漏。

（板書：有序思考）

……

【思考：讓學生在課外繼續探究，完成“探究性作業”，“課已停而思未止”。課內組織學生交流“研究成果”，讓學生講述自己想象與推理的過程，講述研究過程中的曲折與發現，創新的火花不時閃現。教師在關鍵處質疑、追問，澄清學生的模糊乃至錯誤的認識，引導學生反思經驗、總結方法，學生的思維品質和自主學習能力都得到了提升。

上述案例也再次說明，設計并實施一節有價值的課，需要教師準確把握學科概念的實質與結構體系，同時了解學生學習的知識基礎與心理基礎。在這兩方面的基礎上，設計有意義、有價值、有層次的學習活動，在學生自主思考、自主活動（解決問題）的過程中適時引導、提煉以增進學生的體驗與實際獲得。這樣的教學才能讓學習真正發生，讓核心素養真正落地。】