淺談數學教學中類比思想的應用

魏育玲

[摘? 要] 類比推理教學在概念、性質、判定、解法策略等方面的運用能夠更好地幫助學生記憶、掌握所學知識，不斷激發學生數學學習的興趣、開闊學生視野，在培養學生數學思維品質和能力的同時提升課堂教學的效率.

[關鍵詞] 類比思想;概念;同構;屬性

類比思想在知識繁多、概念定理紛繁復雜的數學學科中的應用能夠有效促進教學效率的提升，能使學生在類比舊知識的過程中對新知識展開有效的探究. 承上啟下的探究過程能使學生對新舊知識縱向、橫向之間的內在聯系獲得更好的掌握，使學生在符合認知心理發展的學習中更好地掌握數學“四基”，同時實現數學能力的發展.

不過很多教師在應試教育的壓力之下仍舊將追求學生的成績視為最重要的目標，學生數學思維能力的培養卻被大大忽視了，對類比思想的把握與理解因此很少落實于實際教學中.

概念類比

孤立地理解、記憶初中階段所學的數學概念將會令知識孤立而缺乏聯系與延伸，學生在長期孤立理解、記憶概念時將會把數學學習看成一種負擔. 因此，教師應該對培養學生快速、準確掌握概念這一問題進行深入的思考，運用類比思想進行概念的教學以及概念的縱向延伸，使學生在集“點”串“線”的概念教學中不斷觸及概念的本質并獲得更好的理解.

1. 問題引領下的概念類比

環環相扣的問題串能引領學生在新舊知識之間進行類比并獲得新概念的理解，使學生的學習效果事半功倍.

案例教師在“分式”這一章的教學中，首先可以設計一定的生活情境并幫助學生得到代數式，然后再設計如下問題串引領學生探究：（1）剛剛得到的式子，，都是整式嗎？（2）這些式子可有共同特征？（3）大家是否能從這些共同特征上聯想到一些類似的知識呢？（4）結合已有知識及其共同特征是否可以給出其定義呢？（5）大家能回憶起小學階段學習的相關知識嗎？（6）大家猜猜看這些分式所涉及的知識吧. （7）大家覺得這些知識和分數的相關知識有關聯嗎？

由此可見，借鑒分數的相關知識進行類比、聯想是能夠對分式的性質、化簡、運算等問題進行研究的.

設計問題串并引領學生對概念形成理解，能使學生在不斷思考的狀態中更加清晰而立體地掌握概念并使其感受到學習的趣味.

2. 經驗延伸下的概念理解

順應學生的舊知識經驗并引導學生在反復比較和歸納中明確概念間的異同，能使新舊概念之間的銜接更加自然，并促進知識脈絡在學生頭腦中的清晰形成.

案例教師在相似三角形這一概念的引入教學中可以這樣設計：事先準備好兩個全等三角形和一個與之相似的三角形，取出兩個全等三角形并設問：大家以為這兩個三角形的形狀、大小之間的關系怎樣？存在這種關系的兩個三角形應該怎么稱呼？怎樣定義全等三角形呢？取出另一個三角形再設問：大家覺得這個三角形和剛剛兩個三角形在形狀、大小上又存在著怎樣的關系呢？它們之間可有相似的地方？第三個三角形又應該給它一個怎樣的名稱？對這些三角形之間所存在的關系進行定義又應該怎樣描述呢？

筆者從學生已有知識和經驗出發進行了多角度、多層次的問題設計，使學生在解決問題的過程中獲得了知識的回顧以及新概念的形成，自然順暢的設計令學生在問題的思考和探究中獲得了知識、能力的同步提升.

同構類比

圖形的衍變、通解的歸納這些知識的橫向拓展能使學生學會更好地運用知識，因此，教師應該引導學生在數學結構上探尋知識間的相似性并進行同構類比、知識轉化，使學生最終能夠順利拓寬知識并構建自然清晰的知識體系.

1. 圖形同構

從圖形的關系出發并進行圖形的組合繼而構成新圖形，能使學生在思維的拓展、突破甚至超越中獲得數學核心素養的發展.

案例勾股定理的復習教學中設計以下問題.

觀察圖形并回答問題.

問題1：如圖1，若△DEF是直角三角形，正方形P、Q的面積分別是9、15，則正方形M的面積應為______;

問題2：如圖2，以直角三角形三邊為邊并向外作正三角形，則所得正三角形的面積S、S、S之間的關系為______;

問題3：如圖3，以直角三角形三邊為直徑向外作半圓，則所得半圓的面積S、S、S之間的關系為______;

問題4：如圖4，若直角三角形的直角邊是3和4，以其三邊為直徑作半圓，則陰影部分面積為______.

勾股定理這一初中數學核心知識在解題中的應用是極為廣泛的，教師引導學生在圖形的同構類比中進行思考和探究，能使學生在滲透等積變換、數形結合思想的解題探索中獲得空間形象思維的提升.

2. 解法同構

引導學生在千變萬化的解題中發現規律以及它們的特征，能使學生在精心設計的解法同構的解題練習中學會猜想、探索和驗證并最終尋得規律.

案例“握手問題”：n個人之間兩兩握手的次數一共有多少？

解：若第1個人分別和其他（n-1）個人握手共握手（n-1）次，第2個人分別和其他（n-1）個人握手也是（n-1）次……由此類推，第n個人和其他（n-1）個人握手也是（n-1）次，則有n×（n-1）次，此時每兩個人之間握手的次數明顯是2次，因此n個人之間兩兩握手的次數一共有n（n-1）次.

貼合學生生活的“握手”情境令學生興致勃發，教師設計的這一模型也很好地鍛煉了學生的歸納概括能力.

屬性類比

引導學生進行空間、立體的感知并使其順利構建知識的立體架構，能使學生在五花八門的知識梳理和問題解決中獲得思維的提煉，也能使學生在知識的相同屬性的類比中獲得知識的深化與融合.

1. 個性類比

教師在某個知識或問題的教學之后往往會對其進行個性化的特殊處理，這種研究知識或問題特殊性的教學能使學生在層層深入、螺旋上升的教學中獲得更加深刻的認知.

案例教師在“平行四邊形”的教學中首先可以從其定義入手，然后引導學生在平行四邊形邊、角、對角線上進行其特點的研究并最終得其性質，然后再引導學生從特性上進一步學習如何判定平行四邊形，最后再將矩形和菱形這兩種特殊的平行四邊形引入課堂，使學生在滲透類比思想的逐層教學中獲得深層次的認知和理解. 逐層深入類比的教學也使學生更好地感受到了矩形定義的特殊性，新舊知識融會貫通的教學也令學生的知識、能力獲得了螺旋形的發展.

2. 共性類比

教師應在如何促進學生的思考、感悟、思維上不斷進行探索和追求，共性學習策略是教師在日常教學中應該重視并進行滲透的.

案例在“代數”的復習教學中可以按圖5所示的代數思維路徑進行提煉.

將代數的學習路徑進行類比提煉可得圖6所示的幾何思維路徑.

事實上，從共性學習的角度還可以類比、提煉出如圖7的統計的思維路徑.

教師在挖掘生活原型、問題抽象表述、建立模型、探索性質與運算、應用生活等一系列的教學中引導學生不斷思考與探索，能使學生在構建新知、解決問題的過程中養成良好的思維習慣，數學思維的理性美也會因此得到很好的彰顯.

類比推理教學在概念、性質、判定、解法策略等方面的運用能夠更好地幫助學生記憶、掌握所學知識，使學生在探索新知、梳理知識、歸納題型、總結方法、提煉思維的過程中不斷激發數學學習的興趣，在不斷開闊學生視野、培養學生數學思維品質和能力的同時還能提升課堂教學的效率.