“多變”的角平分線

王金金

[摘? 要] 教學(xué)中，我們必須讓學(xué)生在解題與應(yīng)用的過程中知其然，而且知其所以然，并通過總結(jié)、分析、對(duì)比和反思達(dá)成對(duì)方法與思想的理解與應(yīng)用，促進(jìn)學(xué)生真正理解. 文章結(jié)合“多變”的角平分線來詮釋這一策略達(dá)成.

[關(guān)鍵詞] 幾何;角平分線;初中數(shù)學(xué)

角平分線是初中幾何圖形中的常見線段，在幾何證明題中運(yùn)用較為廣泛. 角平分線的定理和逆定理是學(xué)生們所熟知的，通常將此作為解決幾何問題的輔助手段. 除此之外，當(dāng)角平分線與等線段、垂線、平行線、圓結(jié)合在一起時(shí)，往往可以得到一些新的結(jié)論，而這些結(jié)論正是解決幾何問題的鑰匙. 下文筆者就盤點(diǎn)幾類與角平分線有關(guān)的幾何問題模型，供大家參考.

截等長(zhǎng)，現(xiàn)全等

“等角”是角平分線在幾何問題中最直觀的結(jié)論，并且這兩個(gè)角是有著一條公共邊的角，這時(shí)，只要兩個(gè)角對(duì)應(yīng)的另外一條邊相等，由“SAS”即可出現(xiàn)全等三角形.

例1如圖1，AB∥CD，BE平分∠ABC，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD.

分析? 求證線段的和差關(guān)系通常用“割長(zhǎng)補(bǔ)短”法，即將最長(zhǎng)的線段分割成兩段或?qū)⑵渲幸粭l較短線段延長(zhǎng)到和最長(zhǎng)的線段一樣. 在此題中可在較長(zhǎng)線段BC上截取BF=AB，如圖2，由角平分線得到∠ABE=EBF，再由BE=BE，AB=FB證得△AEB與△FEB全等，由此得到∠AEB=∠FEB，推出∠FEC=∠DEC，證出△FEC與△DEC全等，得到FC=DC，從而證出結(jié)論. 上述方法是“割長(zhǎng)”，也可以延長(zhǎng)BE與CD的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)來證明.

例2如圖3，AB>AC，∠1=∠2，求證：AB-AC>BD-CD.

分析? 線段和差的不等關(guān)系的證明通常由三角形三邊長(zhǎng)的關(guān)系來實(shí)現(xiàn). 在AB上取點(diǎn)E，使得AE=AC，通過證明△ADC與△ADE全等得到CD=DE，再結(jié)合△EBD三邊的關(guān)系即可證.

三角形問題中，構(gòu)造全等是運(yùn)用最為廣泛的證明等量關(guān)系的方法. 角平分線將一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角是其最明顯的性質(zhì)，同時(shí)角平分線還是這兩個(gè)角的公共邊，這樣就為全等創(chuàng)造了一組邊和一組角，再尋找出另外一條邊即可實(shí)現(xiàn)全等的證明.

遇平行，成等腰

由角平分線可以得到相等的角，由平行線也可以得出相等的角，兩者結(jié)合，即可將等角轉(zhuǎn)化至同一個(gè)三角形中，構(gòu)造出等腰三角形，在相應(yīng)的幾何證明題中得到解題的關(guān)鍵性結(jié)論.

例3如圖5，已知四邊形ABCD為平行四邊形，∠BAD的平分線AE交CD于點(diǎn)F，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：BE=CD.

分析? 由四邊形ABCD為平行四邊形可將BE=CD轉(zhuǎn)化成證明BE=AB，即證明△ABE為等腰三角形. 因此聯(lián)想到“等角對(duì)等邊”，將邊的問題轉(zhuǎn)化為角的問題. 對(duì)由角平分線得到的∠BAE=∠DAE與由平行關(guān)系得到的∠DAE=∠AEB進(jìn)行等量代換即可證出.

例4如圖6，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于點(diǎn)D，PC=4，求PD的長(zhǎng).

分析? 通過找出與所求線段相等的線段是求線段長(zhǎng)度較為常見的方法. 此題可以首先由OP平分∠AOB，結(jié)合PC∥OA得出△OCP為等腰三角形，接著截取OE=OC可證△OEP與△OCP全等，如圖7，得出PE=PC=4，再由外角與內(nèi)角的關(guān)系得到∠PED=30°，因此PD=PE=2.

平行線和角平分線結(jié)合在一起出現(xiàn)的等腰三角形通常是幾何問題中的隱含條件，如將此隱含條件挖掘出來，對(duì)該類幾何問題的解決有很大幫助. 另外，若題目中要求的線段在一個(gè)非特殊角的直角三角形中，通常要用轉(zhuǎn)化、平移或旋轉(zhuǎn)的方法將所求的線段轉(zhuǎn)移至含有特殊角的直角三角形中來解決.

三線合，變等腰

“等角對(duì)等邊”是證明等腰三角形最常用的方法，除此之外，“三線合一”也是判定三角形為等腰三角形的方法之一. 角平分線可以給三角形提供三線之一，如果角平分線再遇上中線或高線，則等腰三角形就出現(xiàn)了.

例5如圖8，AB=AC，∠BAC=90°，BD為∠ABC的平分線，CE⊥BE，求證：BD=2CE.

分析? 由角平分線與CE⊥BE得到的高線已經(jīng)給等腰三角形創(chuàng)造了兩個(gè)條件，因此只需將BA與CE延長(zhǎng)至相交，即可通過全等證出△BCF是等腰三角形，因此E是CF的中點(diǎn)，CF=2CE，隨后證明△FAC與△DAB全等即可.

例6如圖10所示，D是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠CAD=∠BAD=10°，∠ABD=20°，∠CBD=40°，求∠BCD的度數(shù).

分析? 該問題將∠BCD的度數(shù)放至△BCD中. 首先延長(zhǎng)AC到E，使AE=AB，再連接BE，DE，延長(zhǎng)AD交BE于F，如圖11. 由AF是等腰△ABE的頂角平分線可知AF垂直平分BE. 從而DB=DE，再由∠BDF=∠DAB+∠DBA=30°可知∠BDE=60°，因此△BDE是等邊三角形. 可以算出∠BCE=∠BEC=80°，得到BC=BE=BD，則∠BCD=（180°-40°）÷2=70°.

上述兩題的突破口都是將角平分作為等腰三角形的頂角平分線來解決問題. 尤其是例6，首先利用角平分線構(gòu)造等腰三角形，再利用“三線合一”得出等腰三角形，后通過已知度數(shù)求出60°角得到等邊三角形，再由度數(shù)得到等腰三角形求解. 過程有點(diǎn)繁雜，但構(gòu)造等腰三角形是解題的方向與關(guān)鍵.

置圓內(nèi)，等弧弦

圓是初中幾何的重要內(nèi)容，將圓與三角形相結(jié)合也是初中數(shù)學(xué)常見的幾何問題. 將角平分線所得到的等角置于圓內(nèi)，就成了圓周角或圓心角，通常能得到等弧和等弦，為問題的進(jìn)一步解決提供條件.

例7如圖12，△ABC內(nèi)接于☉O，∠ACB=90°，∠ACB的平分線交☉O于點(diǎn)D，若AC=6，BD=5，求BC的長(zhǎng).

分析? 求BC的長(zhǎng)，只需將BC看成是直角三角形△ACB的一條邊，利用勾股定理即可. 由題已知AC=6，還需求AB的長(zhǎng)度. 此時(shí)連接AD，如圖13，由角平分線可知圓周角∠ACD=∠BCD，所以AD=BD，△ADB是等腰直角三角形，由BD=5可算出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BC.

例8如圖14，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓與點(diǎn)D，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E.

（1）求證：DE=DB.

（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC的外接圓半徑.

分析? 解決（1）只需用角的和差與三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系. 已知∠BED=∠BAE+∠ABE，∠EBD=∠EBC+∠CBD. 由BE平分∠ABC可知∠ABE=∠EBC，由AD平分∠BAC可知∠BAE=∠CAD，又∠CAD=∠CBD，所以∠BAE=∠CBD. 因此∠BED=∠EBD，DE=DB. 在（2）中，連接CD，如圖15所示，由角平分線得∠BAD=∠CBD，所以BD=CD，△BDC是等腰直角三角形，即可根據(jù)BD的長(zhǎng)度求出直徑，進(jìn)而再求半徑.

由角平分線對(duì)應(yīng)的等角得到等弧和等弦均是以上兩個(gè)例題的關(guān)鍵步驟. 等弧和等弦加上直徑就會(huì)構(gòu)成等腰直角三角形，可以將問題簡(jiǎn)化. 角平分線所對(duì)應(yīng)的等角加上同弧所對(duì)應(yīng)的等角通常可以實(shí)現(xiàn)等角之間的轉(zhuǎn)化，為圓內(nèi)等量關(guān)系的討論增加一條道路.

角平分線不僅僅是一條射線或線段，深層挖掘，它還可以承載更多，“多變”的角平分線，能讓問題更多姿，讓幾何更精彩.

總結(jié)規(guī)律是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)解決幾何問題的基本思路和提高幾何教學(xué)的重要手段. 在幾何問題中，學(xué)生往往感覺困難的是無法對(duì)所給的條件深層加工，得到有用的結(jié)論，找不到考慮問題的正確方向. 教師在幾何教學(xué)時(shí)，尤其是總復(fù)習(xí)階段，廣泛做題，將問題分類研究，總結(jié)各類問題的常見幾何模型和思路方向，可以讓學(xué)生覺得幾何有規(guī)律可循，幾何問題并無想象中困難，從而改變其對(duì)幾何問題的態(tài)度，提高解決問題的能力.