淺談正方形綜合題命制思路

楊文川

[摘? 要] 文章討論了在正方形背景下重慶中考數學幾何綜合題命制的基本思路，基于正方形與翻折運動結合，主要研究翻折方向的選擇、初中重要幾何性質的引入、學生運算能力的考查等幾個方面.

[關鍵詞] 重慶中考數學;正方形;翻折;幾何性質;運算能力

引言

在近幾年的重慶中考數學幾何綜合題命制中，以正方形為背景的綜合題往往是考查的熱點之一. 正方形包含了所有特殊平行四邊形的基本性質，對于學生掌握初中數學幾何性質非常重要. 基于正方形和翻折運動相結合的綜合題，往往出現在重慶中考題的18題，此題具有圖形結構復雜、輔助線添加困難、解題思路多樣、運算量大等特點. 例如：

考題1：（2017重慶）如圖1，正方形ABCD中，AD=4，點E是對角線AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥ED，交AB于點F，連接DF，交AC于點G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM，連接DM，交EF于點N，若點F是AB邊的中點，則△EMN的周長是______.

考題2：（2016重慶）如圖2，正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，DE平分∠ADO交AC于點E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，點F是DE的中點，連接AF，BF，E′F.若AE=，則四邊形ABFE′的面積是______.

因此對于此類題型的研究非常重要而且很有必要，下面我們將從幾個方面進行分析.

選擇翻折方向

在正方形與翻折運動的結合中，往往會將三角形延著重要線段翻折，線段主要是正方形的邊、對角線、特殊點連線（例如：頂點和中點連線）. 當選好線段后，接下來要考慮翻折的方向，不同的方向會產生出形內圖和形外圖兩種基本組合圖形，如圖3～圖5.

其中，圖3是將△AED延著AD翻折產生了形外圖△ADE′，圖4是將△OED延著對角線BD翻折產生形內圖△ODE′，圖5是將△AOD延著AE（E點為DC中點）翻折產生形內圖△AOD′. 因為翻折方向具有多變性，這里不再一一舉例.

引入幾何性質

翻折結束后，將從兩個方向引入幾何性質. 第一，組合圖形自身產生. 首先，翻折本身具有不變性，因此翻折前后對應圖形的邊、角、高線、角平分線、中線的大小都不會發生改變，因此原有圖形的幾何性質可以作為考查對象. 其次，對稱軸本身就是角平分線. 例如圖3，AD平分∠EDE′. 第二，“無中生有”，此種方法往往是考查重點. 主要是添加條件產生新的點或者線段，從而考查幾何性質，如圖6～圖8.

其中，圖6增加AB的中點F，圖7是增加∠DE′C的角平分線交DC于F點，圖8是過D′作AB的垂線交AB于F點. 三種方式就分別引入了中點、角平分線、垂線. 因為增加方式多種多樣，而且可以選擇的邊、角也不同，這里不再一一舉例.

設計解題思路

當圖形結構固定后，設計運算是最后一步也是最難的一步，因為學生層次不同，能力差異很大，部分同學超前學習知識，運算能力強;部分同學知識結構單一，求解方法簡單. 因此設計出一條既能考查學生解題能力，又能包含重要知識內容的解題思路就非常重要. 解題思路設計一般分為以下幾個步驟：

第一，告訴邊長或者已知線段長度（例如2016、2017重慶中考18題）. 這樣學生就有一個突破口，沿著出題人設置好的線路尋找解題思路.

第二，在圖形中分析隱含條件，幫助求解. 這一步是最困難的一步，分析有用的隱含條件是考查學生建模思維、抽象思維的重要環節. 例如圖6中連接OF，則OF是△ABD的中位線;圖7中CF是△DFE′中以DE′為邊的高;圖8中三角形AFD′三邊之比為FD′ ∶ AF ∶ AD′=3 ∶ 4 ∶ 5.

第三，設置問題. 問題的設置往往是告訴學生“去向何方”，一般設置的問題分為求線段、角、三角形面積、三角形周長、三角形的中線、高線、角平分線等等，有時也可以求解四邊形周長、面積. 例如圖6我們可以求解E′F的長度，圖7我們可以求解△DFE′的面積，圖8我們可以求解四邊形AHD′F的周長.

第四，驗算. 這一步往往是檢查求解過程中有無超綱知識點，答案是否合理，運算是否煩瑣等.

重慶中考數學的幾何考查一直是學生的難點之一，本文給出了正方形綜合題命制的基本思路之一，因為圖形結構具有多變性、解題思路具有多樣性、學生能力具有差異性等特點，這個問題還有很多值得探討的地方，待其他老師繼續研究討論.