習題變式在初中幾何教學中的應用研究

王曉強

[摘? 要] 變式教學，是一種教師以一道典型的習題為基礎，通過變化習題來引導學生逐步拓展知識、培養思維水平、提升解題技能的教學方法. 現借助幾何教學中，開展習題變式教學的實例說明這樣的教學方法是如何實施的.

[關鍵詞] 習題變式;變式教學;幾何

習題變式教學，是指在設計了一道習題，引導學生完成習題以后，在不改變原題本質的基礎上，對問題進行延伸，比如更改一個已知條件、更改未知答案、或者把問題抽象化等，在原題的基礎上延伸出數道習題，讓學生通過回答一系列的習題來深入理解數學問題、培養思維水平、提升解題技能的教學活動.

應用基本的問題，幫助學生打好數學基礎

教師開展變式教學，設計第一個問題的要點，是要為學生優選數學問題，幫助學生打好數學基礎. 打好數學基礎的內容包括幫助學生回顧一個知識概念、讓學生了解正確的解題流程、能夠分析出某一類問題解題的重點和難點. 教師可以應用以下的教學方法達到這樣的教學效果.

第一步，教師必須為學生優選數學案例，這一數學案例中的知識點必須有典型性、延伸性、基礎性.

變式1：已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG. （1）求證：EG=CG.

該題具有三個特點：考核的概念具有典型性的特點，只要學生熟悉直角三角形、三角形的中線、角平分線、邊、高這些概念，就能夠應用數學知識解題;考核的內容具有延伸性的特點，該題中涉及的幾何圖形包括正方形、直角三角形等一系列幾何圖形，圖形和圖形之間聯系十分緊密，教師在開展教學的時候，只要更改一個條件，整個幾何圖形的已知條件都會發生變化，設計這樣的問題，能夠讓后續的幾何變式教學順利開展;題目的起點具有基礎性的特點，該題的第一個數學問題并不復雜，即使是學困生，通過閱讀課本，也能找到相應的數學概念來解題，這是一個能夠面向所有學生，鼓勵所有學生探索的數學習題.

第二步，引導學生掌握正確的解題流程.

一名學生的解題流程如下：繪制出圖形如圖1，證明：在Rt△FCD中，因為G為DF的中點，所以CG=FD. 同理，在Rt△DEF中，EG=FD，所以CG=EG.

學生在解題時，教師要引導學生檢查他的證明流程是否存在邏輯漏洞. 如果學生在證明時出現了邏輯錯誤，便要反思如何應用正確的邏輯來分析問題. 教師這樣開展教學的目的有兩個：培養學生的解題技能及幫助學生夯實數學基礎. 變式教學的后續問題會較為復雜，如果學生在基礎問題的學習中就出現了解題技能不足的問題，那么在解決后續的問題中會出現更多的解題漏洞，教師做好這一環節的教學引導，能為后續的教學打好基礎.

第三步，引導學生發現數學問題中的重點和難點.

教師要引導學生看到，基礎習題的解題難點是什么. 教師幫助學生回顧知識點的目的是為了幫助學生積累基礎變式中需要掌握的知識，后續延伸的變式都將要應用到這些基礎知識.

在這一次的幾何變式教學中，教師要引導學生以完成基礎變式的學習來驗證其是否熟悉了與直角三角形有關的概念知識，是否了解相關的數學性質等. 教師可引導學生應用思維圖形、概念圖、表格等，讓學生梳理出相關的知識，形成完善的知識體系. 有一名學生應用表格的方式整理出了直角三角形的性質，如表1，當學生應用表格整理出直角三角性的性質，并熟悉了相關內容以后，便能迅速地突破學習重點和難點，理解第一個變式習題的解題機理.

[性質 性質呈現內容 直角三角形的兩個銳角互余 如果∠C為直角，那么∠A+∠B=90° 直角三角形斜邊中線性質 直角三角形斜邊的中線長度為斜邊的一半 直角三角形三邊的關系性質 勾股定理：a2+b2=c2 直角三角形的邊與角關系性質 ∠30°對應的直角邊等于斜邊的一半 ][表1]

應用問題的變化，幫助學生培養思維水平

教師開展變式教學，設計第二個問題的要點，在于全面地培養學生的思維水平. 教師要引導學生看到學習知識、解答習題的目的不僅是為了完成一個習題、獲得一個答案. 學生在解答習題的時候，要學會充分挖掘問題，然后在解決問題的過程中，培養自己的思維水平. 教師可以應用以下的教學方法達到這樣的教學目的.

第一步，教師要引導學生了解他們是學習的主體，不能被動地做習題，成為學習數學知識的機器. 學生必須要思考一個習題可以產生怎樣的變化，產生探究知識的心理.

變式2：（2）將圖1中△BEF繞B點逆時針旋轉45°，參看圖1，取DF中點G，連接EG，CG. 求證：EG=CG.

在傳統的數學習題教學中，學生需要解決的是一個封閉化的數學問題，只需要根據已知條件來分析未知答案，找到問題的答案，便完成了學習任務. 在習題變式教學中，教師可以通過給出變式2，讓學生意識到，雖然教師給出的變式1這個數學習題是封閉式的問題，但是學生可以根據自己的解題需求來讓習題產生變化，把封閉式的問題變成開放式的問題. 教師應用這樣的方法，可以激發學生主體性，使學生意識到在學習時要應用發散思維來聯想問題. 教師讓學生應用發散思維來思考問題，可為繼續開展變式教學打好思維基礎.

第二步，教師要引導學生了解數學問題可以怎樣變化.

教師要通過變式訓練，讓學生了解數學問題可以產生怎樣的變化. 比如在這一次的幾何變式教學中，教師可以引導學生看到幾何是研究空間結構及性質的一門學科. 學生在探究幾何問題時，要應用平移、旋轉、拉伸等方式來讓幾何圖形產生變化，學生需要思考當幾何圖形產生變化后，它的已知條件會發生什么變化，當已知條件變化以后，未知的答案是不是會產生變化.

第三步，教師要引導學生拓展知識，讓學生把知識點與知識點聯系起來，解決更復雜的數學問題.

比如變式2中，幾何圖形發生變化以后，教師要引導學生發現僅依據原先掌握的直角三角形性質的知識，是不能解決變式2中的數學問題的，那么要解決變式2中的數學問題，需要應用到什么數學概念及數學性質？有一名學生應用了相似三角形及矩形的知識，學生的解題過程如下：連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點，在△DAG與△DCG中，因為AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，所以△DAG≌△DCG，所以AG=CG. 在△DMG與△FNG中，因為∠DGM=∠FGN，DG=FG，∠MDG=∠NFG，所以△DMG≌△FNG，所以MG=NG. 在矩形AENM中，AM=EN，在Rt△AMG與Rt△ENG中，因為AM=EN，MG=NG，所以△AMG≌△ENG，所以AG=EG，所以EG=CG. 當學生應用這樣的方法解決問題以后，教師引導學生依照梳理變式1中知識體系的方法來梳理變式2中涉及的知識，幫助學生形成更為完善的知識體系.

應用問題的延伸，幫助學生養成探究習慣

教師開展變式教學，設計第三個問題的要點，是要引導學生學會自己延伸問題，養成探究的習慣. 教師要讓學生意識到自己是學習的主體，必須學會自己延伸問題，找到需要研究的目標. 學生只有學會結合自己的學習興趣、層次、需求，自己延伸問題，盡可能讓習題產生變化，才能在解題的過程中學習到更多知識.

變式3：（3）將圖1中△BEF繞B點旋轉任意角度，參看圖3，再連接相應的線段，求證：EG=CG.

變式3是教師引導學生自己思考以后設計出來的問題. 教師要引導學生把握住設計問題的幾個原則：學生是否充分發揮了自己的想象力，并且聯系更多知識點，設計出更多的問題. 比如在這一次的學習中，學生不僅設計出了變式3這樣的問題，還考慮過將變式1中的正方形改成長方形、菱形、平行四邊形等. 教師要讓學生養成開放的學習心態，盡可能在探索問題的過程中吸收更多的知識，比如學生在延伸問題的過程中希望了解，如果變換了條件，那么原本題目中預設的數學關系是否還存在，如果依然存在，證明的依據是什么，可以應用什么數學思想來完成證明等. 教師要引導學生在學習變式問題時，逐步拓展知識，完善知識體系.

初中數學教學中可以在幾何教學板塊開展習題變式教學，只要教師把握住變式教學開展的要點，就能夠幫助學生積累知識、培養學生的思維能力、鍛煉學生解決問題的能力.