拓展思維空間 彰顯課堂活力

朱雪平

[摘? 要] 數學是一門發展思維能力的學科，數學教學是拓展學生思維空間的教學. 筆者結合教學實際，在思維訓練拓展課程與活力課堂的碰撞中發現，可以通過巧置懸念、激發觸動、縱橫聯想、另辟蹊徑四個方面有效地組織學生進行思維活動，拓寬學生的思維空間，彰顯課堂活力.

[關鍵詞] 拓展課程;思維訓練;活力課堂

開展數學拓展性課程，是對現有初中數學教材的有力補充，能豐富教學內容，豐富校園文化建設，促進學校發展. 而對于很多農村學校的初中生來說，由于基礎比較薄弱，所以學習數學是一件相當困難的挑戰. 數學教學的核心是進行思維訓練，由于課堂時間有限，導致課堂中很多的生成資源得不到有效利用，學生的思維受到限制. 那如何在新課改的理念下把思維訓練拓展課程與活力課堂有效地結合起來呢？筆者以為可以從以下幾個方面著手.

巧置懸念，啟迪思維

在數學課堂教學過程中，教師要精心設計一系列問題，產生懸念，從而有效地激發學生的好奇心，引導并鼓勵學生提出質疑，因為提出問題比解決問題更重要. 有疑問才會有思考，才會深入探究，才會觸動思維，然后在教師的智慧點撥下，釋疑解惑. 在這個過程中，學生可能一開始感到有些費力，而后就會感到柳暗花明又一村，這才是我們所追求的富有靈動性的活力課堂.

如教學人教版九年級上冊“二次函數專題復習課”時，筆者設計了一節以數形結合思想為主線的復習課. 由于數形結合思想在解決函數的問題上應用非常普遍，所以筆者就這一問題專門在拓展課上進行深入探討，以下是教學片段.

拓展習題：在實數范圍內，方程x2+4=的解有幾個？這道題的本質不是考查我們解方程，而是用數形結合思想解決. 于是需要我們抓住本題的本質，悟出出題者的本意，即在平面直角坐標系中分別作出函數y=x2+4和y=的圖像，這兩個圖像的交點個數即為原方程的實數根個數.

這道題充分體現了“數缺形時少直觀，形少數時難入微”這句話的真諦. 如果直觀地看，學生容易發現這個方程可以化為一個一元三次方程. 在初中階段，學生還沒有學過怎樣解一元三次方程，這會使學生產生疑問. 在這種心理狀態下，學生開始討論解決疑問的方法，此時的課堂充滿了思維的張力，能讓原本“難產”的疑問隨著好奇心自然流淌，靈動生長.

激發興趣，觸動思維

課堂中能否調動學生學習的積極性、激發學生的學習興趣、觸動學生的思維是關鍵. 只有學生對數學學習產生濃厚的興趣，才會積極地思考，才會快樂地學習，才會提升學生的學力，才會提高學生探索數學世界的主觀能動性. 那么在數學教學過程中，如何激發學生的學習興趣呢？筆者以為可以通過引用故事的方式來激發學生的興趣.

如教學“函數的概念”時，由于課堂時間比較緊迫，所以教師往往注重知識的傳授，而忽視了數學史. 既然拓展課程是課堂教育的延伸，于是筆者把函數概念的歷史教學放到拓展課上來進行.

教學中，教師可以列舉一些實際問題，得出函數的概念：

一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x，y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數.

像s=60t，y=50x-0.1這樣，用關于自變量的數學式子表示函數與自變量之間的關系，是描述函數的常用方法. 這種式子叫函數解析式.

17世紀，數學家將一個變量x的不同次冪稱為x的函數.

1718年，約翰·伯努利首次明確提出函數的新定義：一個變量與一些常數的和、積、商、冪、方根的代數式，稱為這個變量的函數.

1748年，歐拉首次用“解析式”定義函數：一個變量的函數是由該變量和一些常量組成的解析式.

在數學課堂教學過程中，結合故事來激發學生的學習興趣、觸動學生的思維，是一種有效的方法. 這種引用歷史故事的方式代替了講授法，能讓學生穿越時空，與歷史上的數學家“對話”，從而拉近他們與數學之間的距離，讓原本難以“下咽”的函數概念靈動，定格在學生的腦海中，鑲嵌在學生的思維里，從而更好地培養學生的數學素養.

縱橫聯想，拓寬思路

在數學教學中，培養學生的思維能力關鍵在于教給學生思維方法. 教師應善于選擇典型例題，善于發現問題的本質，鼓勵學生運用多種方法解決問題，這樣既有利于培養學生的發散思維能力，又能激發學生的學習興趣. 教師要善于采用變式題進行教學，這樣既能開闊學生的視野，又能讓學生的數學思維有生長點和發展點，從而培養學生的數學思維能力.

如教學“圓和相似三角形的復習課”時，由于課堂時間有限，所以學生的多種思路沒有辦法在課堂上一一呈現，于是筆者就這一問題專門上了一節拓展課，解題成果如下.

如圖1，已知A，P，B，C是☉O上的四點，∠APC=∠BPC=60°，AB與PC交于點Q.

（1）判斷△ABC的形狀，并證明你的結論;

（2）直接寫出所有與△APQ相似的三角形;

（3）若AP=6，=，求PB的長.

對于第（1）問，只要運用圓周角的性質，學生很快就能解決;第（2）問也相對比較簡單，而第（3）問有很多解決方法，具體呈現如下.

設AQ=3x，則BQ=5x，BC=AB=8x.

方法一，因為△APQ ∽△CBQ，所以=，解得PQ=. 又△APQ ∽△CPB，所以=，解得PB=10.

方法二，因為△APQ∽△CPB，所以=，解得PC=16. 又△BCQ ∽△PCB，所以=，解得PB=10.

方法三，因為△APQ ∽△CBQ，所以=，解得CQ=4x2. 又△PBQ ∽△ACQ，所以=，解得PB=10.

方法四，如圖2，過點A作AM⊥PC于點M，過點B作BN⊥PC于點N. 因為△AMQ∽△BNQ，所以==. 又△APM ∽△BPN，所以==. 所以PB=10.

方法五，因為△AMQ ∽△BNQ，所以 ==. 容易求得AM=APsin60°，BN=BPsin60°，所以=. 所以PB=10.

方法六，如圖3，運用面積方法建立比例求解. 過點Q分別作QE⊥PA于點E，QF⊥PB于點F. 因為∠APC=∠BPC=60°，所以QE=QF. 所以===，即=，解得PB=10.

在數學教學過程中，變式教學和一題多解顯得尤為重要. 教學中，我們應讓學生在變式中抓住問題的本質，洞察問題的結構，追求“做一題，會一類，通一片”. 一題多解屬于發散性思維的范疇，如果教師善于選題，善于啟發，善于捕捉學生思維的“星星之火”，那么課堂的氣氛就會引發為“燎原之勢”，這樣就會使課堂教學產生一種吸引人的魅力.

另辟蹊徑，激活思維

在數學課堂教學中，學生常常會陷入一種思維怪圈，也就是我們經常所說的思維定式，即在頭腦中用一種固定的思維模式去思考問題. 每當呈現給學生的問題跟他們的已有認知水平發生沖突時，學生就會感到束手無策. 在這一關鍵時刻，教師應啟示一條全新的思維路子，使學生燃起新的希望，讓希望在數學課堂上落地生根，在數學的天地里播撒思維種子.

在初中階段，幾何學習是一個基礎，一道好的幾何試題可以涉及很多的知識點，包括三角形、四邊形、圓，甚至包括考查知識遷移能力和知識整合能力. 對于學生來說，幾何是一種對思維深度和梯度的考驗，而且幾何題往往解題思路比較多，所以能充分激活學生的思維. 下面是一節拓展課的教學片段.

如圖4，正六邊形ABCDEF的邊長為a，P是BC邊上一動點，過點P作PM∥AB交AF于點M，作PN∥CD交DE于點N.

（1）∠MPN=______;

（2）求證：PM+PN=3a.

此題的第（1）問比較簡單，學生自己便可以解決. 第（2）問的證法比較多，在拓展課上，筆者展示了常規思維的證法和巧妙獨到的證法. 第（2）問的普遍證法如下：

如圖5，分別過A，B兩點作PM的垂線，垂足分別為Q，S，分別過C，D兩點作PN的垂線，垂足分別為T，R. 因為∠BPS=∠CPT=60°，所以SP=BP，PT=CP. 所以SP+PT=. 又四邊形ABPM和四邊形CDNP都是等腰梯形，所以MQ=PS，NR=PT，QS=AB，RT=CD. 所以PM+PN=3a.

教師引導學生走另外一種思路：能不能在六邊形的外面作輔助線來解決？學生通過思考和合作交流，馬上想到了形外連線的方法.

新穎的證法：（形外連線）如圖6，延長FA，CB交于點I，延長BC，ED交于點J，則△ABI，△DCJ，△PMI，△PNJ均為等邊三角形. 所以PM+PN=PI+PJ=BI+BC+CJ=3a.

“拓展課程”是“基礎課程”的補充，重要的不是開發，而是轉變教師的教學方式，豐富學生的學習方式. 我們要以課堂教學為主陣地，以加強學生的思維訓練為突破口，全面提高學生的數學素養，拓寬學生的思維空間，使課堂煥發出無限的精彩和活力.