數學核心素養理念下對情境問題的思考與設計

2019-07-08 04:00:22魏亞楠嚴卿

教學與管理(理論版) 2019年1期

魏亞楠嚴卿

摘 ? 要?數學核心素養概念的提出，要求數學教育中的情境問題能夠考查學生發現問題的能力、對知識的綜合運用以及思維能力。當前情境問題的缺陷在于模式化、脫離現實等。對喻平教授核心素養評價框架進行補充，形成設計情境問題的一個框架，包括知識理解、知識遷移、知識創新三個水平。

關鍵詞?綜合 ?情境數學思維 ?情境問題

隨著最新版《普通高中數學課程標準》（以下簡稱《課標》）的發布，如何理解和實施這一新的標準成為當前理論和實踐中所聚焦的問題。《課標》的最大特色在于提出了數學學科核心素養，后者是指“學生通過數學學習而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力”，包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析[1]。這六個素養又可以凝聚為“三會”——會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界[2]。從這一表述來看，如何將數學用于現實世界、建立數學與現實世界的聯系并解決實際問題成為一個主線。在數學教育中強調現實問題，主要途徑就是現實情境的引入。《課標》中對核心素養水平的劃分中，就將“情境與問題”作為一個指標，設置了不同水平的情境。實際上，自本世紀初呂傳漢、汪秉彝教授開展“情境-問題”教學實驗以來，創設情境就成為我國數學課堂教學中的一個固定環節，相關理論與實踐屢見不鮮。然而另一方面，在評價層面上，已有研究對用于評價的問題所屬情境的關注則比較少見。本研究在對情境問題有關概念進行梳理的基礎上，針對核心素養培養的新要求，提出核心素養理念下編制情境問題的一些思考。

一、情境問題的內涵及相關概念辨析

在數學教育的視域下，對于情境概念，許多學者都是從教學情境的角度來闡述。超越教學背景，有學者認為，情境是“數學知識產生的背景”[3]。而對于情境問題，有學者指出，指“一類具有現實性和思考性的數學問題”[4]。這個定義是可以接受的，但是要明確情境問題的外延，還需要對幾個相關概念做進一步分析。

與情境問題有關的表述，主要包括如下幾種：應用題、真實性問題、情境問題等。這些概念的提出基于不同的歷史背景，相互之間既存在著共性，又有著一定的差異。下面就分別做一簡單介紹。

第一，應用題。強調實用性可以看作我國數學史上一個重要特色，《九章算術》正是以數學在不同領域的應用來劃分章節。應用題在我國數學教育中的傳統由來已久。在“中國知網”中使用“應用題”作為標題進行檢索，最早的文章可追溯至上世紀50年代。伴隨其在1993年高考中的出現，應用題逐漸成為教學實踐、研究中的重點。對數學應用題的重視，一方面是在新時代對于數學本身價值認識深化的結果，另一方面也體現出素質教育的要求。然而，較少有學者給出應用題的明確定義，在為數不多的定義中，包括“應用題是指有實際背景和實際意義的數學問題，與純數學問題不同”[5]。這樣的定義還不夠清晰，特別是當前存在著更多類似概念的情況下。

第二，真實性問題。對真實性問題的關注來源于對應用題的反思。有學者指出，雖然應用題有助于學生把課內所學的數學知識和技能運用到真實生活情境中去，但由于教學中的應用題都是人為簡化處理的問題，導致學生在解答時傾向于將真實生活知識排除在外，不考慮問題的真實性[6]。可見，真實性問題與應用題的區別是十分明確的，應用題強調了對所學純粹數學知識的應用，而真實性問題更加強調實際情況中對問題的解決。從與現實的聯系上來說，真實性問題真正把數學世界和現實世界聯系在了一起。當然，并非說應用題都是不切實際的，只不過這一點并非應用題所強調。

第三，情境問題。“情境”概念在我國數學教育中得到重視，始于呂傳漢、汪秉彝在本世紀初開展的“情境-問題”教學實驗。時至今日，“創設情境”已經成為課堂教學中公認不可缺少的一個環節。這是就實踐而言。在理論上，作為情境認知理論在數學學習中影響力的體現，越來越多學者開始關注情境對學習的影響。不過具體到“情境問題”概念的出現，則來源于影響力越來越大的PISA測試。PISA數學素養測試將任務情境作為一個重要維度，按照與學生生活的遠近程度劃分為6個水平——無情境、個人情景、教育情境、職業情境、公共情境、科學情境。從而，“情境問題”不再只是簡單的涉及現實的問題，情境不再等同于應用，而有了更豐富的內涵。

綜合以上分析，三類問題都體現了對數學知識運用的重視，都是相對于純粹數學知識而言。相比而言，應用題側重點在應用，而應用是指對數學知識的應用，也就是說，存在著明確對應著的具體數學知識，這種應用本身也是對這一知識掌握水平的考察;真實性問題則與此相對應，它的出發點并不在某個領域的數學知識，而來自于真實世界，不會為了迎合某個具體數學知識而設置，也不用來考察這一知識的掌握情況;與這兩種問題相比，情境問題有著更大的包容性，與其說它為自己劃定了一個明確的界限，不如說情境問題的提法使人們對情境本身顯露出更大的興趣，并進行更深入的研究。因此，不論是應用題、還是真實性問題，都理應內含于情境問題的范疇中。

二、《課標》對“情境問題”的要求

根據上文的分析，雖然情境問題這一提法不及創設教學情境普遍，但以應用題為代表，在我國數學教育中有著長久的傳統。當前，在新《課標》的背景下，在核心素養理念的引領下，我們應當如何來重新認識情境問題？《課標》中不乏強調情境的表述，但首要一個問題是，情境問題用來實現什么目的？要明確設置情境問題的應然價值，即理論上應具備的功能。

首先，情境問題應用于考察學生的問題提出與發現能力。不論是2011版的《義務教育數學課程標準》，還是此次發布的高中《課標》，在課程目標中，都在“分析和解決問題”的基礎上，加入了“發現和提出問題能力”。這些能力作為培養的目標，理應體現在評價中，而不僅僅反應在教學過程中。進一步地，數學問題的提出總是基于一定的情境，沒有合適的情境，學生不可能憑空提出問題。《課標》中各核心素養水平的描述中，也多次提及“在熟悉、關聯、綜合的情境中，發現或提出問題”。因此，與課堂教學中創設情境類似，在評價中，問題情境同樣應當被精心創設，從而考察學生從中提出問題的能力。

其次，情境問題應考察學生綜合運用知識的能力。注重不同知識間的整合，是這次新《課標》的一個重要特征，體現了發展核心素養這一指導思想相對于掌握知識、訓練技能的超越。例如，在課程內容確定的原則里包括“關聯性”原則，要求“關注學科間的聯系與整合”。應該說，分科課程與綜合課程之爭長期存在，分科的依據在于知識，因此在強調知識掌握的時期，分科課程會得到更多的重視;另一方面，我們在生活中面對的問題往往都涉及多方面知識，因此當課程設計者關注對知識的運用——即素養（能力），自然會開始加強對綜合課程的重視。從以上分析中不難理解，為何情境問題在強調綜合性的課程中有著重要的意義。綜合課程的出發點就在于解決現實中遇到的問題，同時，也只有在一定的情境中，不同的知識才有可能被匯聚在一起。因而，為了考察學生綜合運用知識的能力，在設計情境問題時要注意知識點的關聯性。在注重整合的同時也要防止人為制造的統一[7]。強調綜合性不應以學科本身價值的喪失為代價，要避免“去科學化”。

最后，情境問題應考察學生的思維。論及數學課程的價值，存在這樣一個共識：就知識本身而言，對將來生活有用的部分其實非常有限，之所以學習數學，原因在于能夠培養人的思維。這正是核心素養理念在數學教育中的體現。而說到培養思維，往往使人聯想到具有挑戰性的純數學題，情境問題則被認為側重點在于聯系數學與現實世界。實際上，這一觀點弱化了情境問題對于思維培養的價值。數學學習對思維的培養可以從兩個層面上來把握，首先是培養數學思維，然后在此基礎上、通過數學學會思維，即思考問題更清晰、更全面、更深刻、更合理[7]。情境問題對于后一層面思維的考察尤其重要。顯然，偏離現實、違背常識的問題不僅不利于學生一般性思維的發展，甚至會產生相反的效果。在設計情境問題的時候，如何在考察數學思維的基礎上，融入一般性思維的考察，是一個值得思考的問題。

三、情境問題的研究現狀

接下來對數學教育中有關情境問題的研究進行一個梳理。總體而言，專門針對情境問題的研究并不多，以比較研究為主，涉及教材、考試中的情境問題。陳志輝構建了包括數學特征水平、情境類判別等的情境問題分析框架，研究發現：上海教材中函數部分的情境重復率偏高，教育情境偏多;上海中考在多樣性上遜色于PISA和新加坡，等等[8][9]。沈陽采用SEC方法對南京中考試題與PISA試題在內容、情境等方面進行了比較，發現南京市中考試題多數都是無情境的，PISA中的開放式問題多于南京中考[10]。嚴卿對中國和日本初中數學教材中的問題提出進行了比較，發現后者中有65%設置了情境，而中國教材僅為30%左右，說明中國教材對于情境中提出問題的能力缺乏重視[11]。

此外，一些使用情境問題的測驗研究也反映出該類問題在日常教學中的現狀。張民選基于上海市學生在PISA2012中的結果指出：結構不良的問題訓練較少;作業往往都是當日完成，較少接觸需要深度思考的問題;情境問題到數學問題的轉換、以及將數學結果運用于情境中的能力相對較弱[12]。張永雪使用真實性問題對學生解題情況進行考察，揭示了當前數學教學中應用題使用的一些問題，例如：平常的經驗與數學解題訓練形成的習慣產生了沖突、課本上的應用題老套，等等[13]。

基于這些研究的結果，可以總結出如下問題：情境種類偏少，重復且老套，脫離真實;應用題的訓練模式化;探究類、開放性問題、問題提出型任務較為缺乏。這些問題中的一部分正是前文的分析中所指向的，例如對提出問題的強調;又如，要培養學生一般性的思維能力，老套、模式化的題目肯定難以勝任，而脫離真實的情境甚至對思維能力的培養是有害的——當學生不得不去完成一道違背常識的題目時，他必須暗示自己放棄理性、嚴謹的思考。另一方面，對情境問題綜合性特征的研究則比較少見。

四、改進情境問題的思考

以上分別闡述了情境問題的概念、應然的價值以及在當前數學教育中的現狀。現在的問題即是，應如何設計情境問題，從而既能克服當前的缺陷，又能滿足核心素養培養的要求。情境問題是數學知識與現實情境的結合，在形式上是多樣化、經驗化的情境，在實質上依然是數量關系與空間形式，因此，合理的設計框架理應兼顧這兩個維度。合適的情境問題不能是過于情境化而忽視對數學思維方法的考量，這正是PISA測試所欠缺的地方;同時，單純用問題的復雜程度來刻畫問題水平的框架也是不合適的，因為情境問題理應考察提出、發現問題的能力，且無法用問題的復雜性來刻畫，且情境問題的價值追求并不在于復雜程度;此外，出于可行性和推廣性的考慮，情境問題的設計框架不應是過于繁瑣的。

從數學知識維度著手，可考慮引入喻平教授提出的核心素養評價框架。他認為，數學核心素養產生于知識，那么評價的水平劃分就應當從知識的角度切入，并將知識學習分為3種形態（水平）。知識理解水平指對知識的本質、類屬以及與其他知識之間的種種聯系的理解，以及基本技能的形成和發展。知識遷移水平指知識在新情境中的應用，以及知識的綜合應用。知識創新水平指學習者能夠解決一些非常規的開放性問題，或者生成超越教材規定內容的數學知識，或者對問題進行推廣與變式得到一個新的問題[14]。

這一框架以知識的學習形態為線索劃分出三個水平，具有較強的理論基礎，其所給出的“知識的綜合應用”“進行推廣得到新問題”等指標也與本研究訴求相一致。但由于該框架并非專門針對情境問題設計，因此有必要在情境維度進行更為精細的刻畫。情境水平的設置與知識維度有一定對應關系，而不是完全獨立的。例如，既然知識遷移維度涉及到多個知識點，那么對應的情境絕不可能太簡單，否則滿足不了知識上的要求。此處沿用知識理解-知識遷移-知識創新的表述，并分“數學維度”和“情境維度”分別表述，具體見表1。

此外，無論在哪個水平上，情境都不能和生活常識相違背。這個框架著眼于當前情境問題的缺陷以及核心素養培養的新要求，對情境問題水平的劃分做了明確規定，適合用于情境問題的設計。此外，也不必過度局限于框架，并非每一道情境問題都必須包括兩個維度上的每一個水平。以下借助一個具體例子來進一步說明該設計框架。

我們生活中所使用的書籍、紙張有一套固定的尺寸規格，例如，在打印店經常用到A4紙，我們考試的試卷用的是A3紙。這些紙張的長、寬是怎樣規定的呢？以A3和A4紙為例，它們的長寬比是一樣的;并且，兩張A4紙拼在一起就相當于一張A3紙的大小，如圖1所示。

（1）請問A3、A4紙張的長寬比是多少？

（2）除了紙張的長寬比，數學中另一個有名的比例就是黃金分割比，這一比例在建筑、繪畫藝術中十分普遍，能夠給人帶來美感。假如有兩個長寬比為黃金分割比的長方形，將小長方形置于大長方形上面，且小長方形的長與大長方形的寬正好重合，如圖2，則大長方形多余的部分正好是一個正方形。請計算黃金分割比。

（3）五角星是生活中非常常見的圖形，連接正五邊形任意兩個頂點，可以畫出五角星的圖案，如圖3。從中你又能發現哪些比例呢？

第一小問在情境上選取了學習者比較熟悉的日常生活情境，知識點上雖然涉及圖形的相似，并要求能夠據此列出方程求解，但數量關系在已知條件中就十分清晰，方程的求解也十分簡單，因此仍屬于知識理解水平;第二小問在情境上較第一問陌生，在知識點上與第一問類似，但難度有了延伸，需通過理解題意抽象出數量關系，列方程需要一定的技巧，求解也更復雜，屬于知識遷移水平。第三小問的情境與前兩問相比有一定的跳躍，但蘊含的基本思想類似;在知識上進一步納入了圓與正多邊形的內容，一些條件隱藏較深，且要求學生自己發現線段間的關系，是一道開放性的問題，屬于知識創新水平。

參考文獻

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[11] 嚴卿.中日初中數學教材中問題提出內容的比較[D].武漢：華中師范大學，2014.