數學理解在初中數學概念教學中的運用

杜成智

摘? ?要?數學概念的學習歷來受到學術界和教學界的重視，數學理解也是近年來數學教育研究領域的熱點，將數學概念教學和數學理解相互結合，探討基于數學理解的數學概念教學新模式，具有重要的理論意義和實踐價值。本文以理論研究和教學實踐相結合的方式，探討數學概念的理解及相關的教學方法，試圖為推進初中數學概念教學水平的提高提供理論支撐。

關鍵詞 數學理解? 數學概念? 教學研究

數學概念的理解不僅是數學教育的重要目標，更是當前數學教育，特別是中小學數學教育中面臨的突出問題。中小學數學教育的許多失敗嘗試均源于不適合的教學和學習方式，主要表現為師生的數學活動囿于常規和機械，難以激發自主的、高級的思維形式，從而沉溺于反復的灌輸和練習之中，而缺乏最有效的思考。因此，強化數學概念教學研究、提高學生的數學概念理解水平具有現實性與緊迫性。

一、數學理解與數學概念理解

1.數學理解的界定

現代認知心理學認為，理解實質上是學者將信息輸入、進行編碼，再結合自身的經驗和理論知識，構建內部的心理表征，進而獲得心理意義的過程。因此，數學定義可以理解為：“若某一個數學含義或方式已成為網絡知識的一部分，那么，它就被理解了”。一般情況下，理解首先讓學習者認識到數學的表象，然后構建心理表象，再以此為基礎構建新的知識構架，不再堅守傳統的認知。數學理解并不是一瞬間的任務，而需經過長期的知識重組，因此，這是一個動態的發展過程。在理解數學對象時，應讓學生親自動手。學生在操作過程中可以客觀地認識到數學的外在形象，讓其在頭腦中建立數學對象，然后刻畫數學對象的真實面貌，這才能說他真正做到數學理解。

2.數學概念的理解

理解數學概念對數學學習而言無疑是十分重要的。Hiebert與Carpenter認為，數學概念和學習者已有的知識網絡存在更強和更多的聯系，就認為數學概念是被徹底理解了。李士鑄先生則認為，學生對一個概念在心理層面組織和建構起認知結構，并隨之成為學習者知識網絡的重要節點，就認為數學概念是被理解的。綜上所述，數學概念的理解，從心理學層面而言是要建立恰當的心理表征，從實際教學層面而言，掌握數學概念的本質，也就是概念本身的內涵和外延，從文字層面的領會、從具體例子的驗證、從限制條件方面加深認知、從運用中不斷拓展延伸，都是理解概念的具體做法。就數學概念教學而言，加深學生的數學概念理解無疑是最重要的目的。

二、基于數學理解的數學概念教學研究的意義

1.有助于激發學生的學習興趣

理解性數學教學注重數學創造力的培養，并將其作為教學的根本宗旨。著名數學教授加達默爾認為，理解并不是簡單的復制，而是在內化過程中的創造。從某種意義上講，數學理解的過程本質上是一種數學創造的過程，數學學習的價值在于理解，在于學生積極參與經歷知識的再創造，從而進一步促進學生對數學知識的理解和接受。同時，理解上的自由性和創造性，可以將學生從傳統灌輸式教學的桎梏下解放出來，無限激發學生的潛能和素質，使他們產生創造和成功的體驗，使枯燥的數學教學變得更具趣味性，提高學生的學習興趣，這也是初中數學課程改革的重要目標和價值體現。

2.有助于提高初中數學課堂教學效果

初中數學內容無論是在廣度還是深度上都是小學數學不能比擬的。如果初中數學教師不能改變傳統的應試教育理念，拋棄滿堂灌和題海戰術，就不可能為學生構建起良好的數學視野。但是，由于傳統理念根深蒂固，數學教師在教學中往往會走進忽視概念教學的誤區，造成學生在認知、理解和掌握數學知識方面存在諸多問題。因此，對數學理解視野下的數學概念教學進行研究，將數學概念教學與培養學生核心數學素養相互融合，不僅有利于調動學生的學習興趣，還可以在提高數學教學質量方面達到事半功倍的效果。

3.改變學生的數學觀和教師的數學教學觀念

初中數學概念在初中生數學學習中具有重要意義，不僅是學生學好數學的基礎，還是進一步掌握數學基本理論，了解數學規律的前提，也是數學教學中進行數學能力培育、形成科學態度的重要前提。基于數學理解的初中數學概念教學需要對傳統的師生和生生關系進行重構。如果在數學教學過程中，所有學生對數學概念的理解完全相同，那么個體之間的交流也就失去了意義。只有不同的個體對數學概念存在不同的認知，才是交流的基礎和前提。因此，數學理解需要每個參與學習的個體進行充分的思考和分析，并通過一定反思形成與眾不同的理解，這顯然是對傳統追求高度一致性答案的數學概念教學理念的顛覆，有助于重塑學生的數學觀和教師的數學教學觀。

三、基于數學理解的初中數學概念教學的具體措施

1.操作階段闡明概念產生的必要性和科學性

鑒于數學概念的抽象性以及與實際生活的緊密聯系，在概念學習的操作階段，有必要設置真實的生活情境，使學生通過實際情境感受概念的本質特征，而不能依靠教師單純的理論講解。脫離生活實際和實踐經驗的講解，無論如何精彩，在學生的數學概念的理解和建構方面也會顯得蒼白無力。因此，學生數學概念的理解必要有充足的實際情境，同時要指導學生充分地動手操作、動腦思考，強調學生通過一系列的操作活動獲取對數學概念的認知，在潛移默化中使學生理解數學概念的科學性和必要性。

在操作階段，一方面要注意操作素材的選擇。要根據數學概念所對應的生活領域確定哪些素材可以作為教學素材使用，同時要考慮選用的素材中所包含的數學概念是否符合教學的需要，是否契合教學目標的需求。此外，教學素材的選擇要具備可操作性，便于在課堂教學中開展，可以使學生通過操作活動體會到相關的數學概念。另一方面，要選擇好操作的方式。選擇方式要有助于調動學生的思維，使學生積極思考，形成對概念的直觀感受。具體而言，操作的形式不僅包括學生的動手操作，還包括教學模型的使用以及圖形的觀察和圖表的計算。在概念的操作階段需要注意以下兩點：第一，在新概念教學中，教師要給予學生充足的操作材料和操作時間，讓學生能夠通過足夠的思考完成對概念的感知和理解;二是教師設置的操作任務要符合學生的能力和認知水平，過高或過低都不利于調動學生的參與和思考。

2.過程階段在思考中體驗數學概念的形成

過程階段是學生對操作階段獲得事實的進一步思考。操作階段獲得的僅僅是數學概念的感性認識，仍屬于外部活動的刺激。要想使學生形成真正的數學概念，還必須依靠學生自己進行積極主動的建構。因此，在概念教學的過程階段，教師要利用梯次設置、不斷深入的問題來激發學生的思考，學生通過對操作階段感性認識的反思和描述，通過總結和提煉，最終得出數學概念。這一過程主要可以分為以下三個步驟：首先是反思操作活動，在這一步不僅要對操作的素材進行特征方面的反思，也要對操作過程的經歷和體會以及獲得的收獲進行反思，進而形成對數學概念的全方位、多角度的感受，并嘗試利用生活化的語言進行描述。其次是對上一步驟得到的生活化語言描述進行進一步的提煉和加工，將其轉化為數學化的語言，促進數學概念的抽象化發展。最后是將數學語言進一步提煉，成為數學概念。

3.對象階段在提煉中抽象數學的概念

在過程階段得到數學概念之后，數學概念要由過程向對象轉化。但是，教師在教學過程中不要急于求成，可以及時關注學生在數學概念學習過程中的最近發展區，通過一系列數學問題和正反兩方面的例子進行循序漸進的引導，實現學生對數學概念理解的螺旋式上升。數學概念教學的對象階段的建立是一個漫長的過程，并不能一蹴而就，需要反復對前面的兩個階段進行反思和再思考，對已經得到的概念在細節方面不斷探究和補充說明。具體而言，將數學概念作為獨立對象理解一般可以采用如下方法：一是概念的辨析比較。通過舉出正例和反例對數學概念進行深入辨析，加深學生對數學概念的深入理解。例如，在一次函數概念引入之后，讓學生辨別下列函數是不是一次函數，理由是什么？

（1）y=2x+1，（2）y=2x，（3）y=，（4）y=x（x+1），（5）y=0二是進行模仿訓練。在數學概念教學中，教師經常會面臨這樣的困惑：對于一個數學概念，自認為已經講解得十分清楚了，但是還有很多學生覺得似懂非懂。此時，教師可以通過示范和學生練習相結合的方式促進學生對概念的理解。例如，在介紹完一次函數的增減性后，教師可以通過具體的函數y=2x+1，向學生演示怎樣通過圖象判斷其增減性，然后再讓學生進行模仿操作，就能加深學生對概念的理解。三是變式訓練。變式訓練是指在保持數學概念本質屬性的前提下，對部分非本質屬性進行適當改變，從而達到鞏固數學概念的目標。

4.圖式階段在抽象中建構綜合的心理圖式

在經歷了操作、過程、對象三個階段之后，學生通過新概念的學習和原有的心理圖式進行整合，會在頭腦中形成具有實際問題背景，經歷抽象過程的完整的數學概念，能夠建立起基于新概念的心理圖式，并能將其應用于解決問題。對數學概念而言，雖然在定義中已經揭示了對象的本質屬性，但是要做到對數學概念的本質屬性的真正掌握，還要構建新概念與其他數學知識之間的聯系，從而將其納入自身的數學知識體系。因此，圖式階段的教學設計難點在于如何構建概念之間的聯系，既要幫助學生構建數學概念之間的縱向聯系，凸顯數學概念的本質特征，又要幫助學生構建其概念之間的橫向聯系，將新概念進行內化，納入自己的知識網絡。

縱向聯系是指數學概念體系中的概念之間的關系。在進行縱向聯系的教學時一般可以通過概念的內涵和外延之間的放大或縮小獲得這些概念之間的聯系。例如在八年級數學教學中特殊平行四邊形的概念教學中，一般可以通過以平行四邊形為核心，對平行四邊形、矩形、菱形和正方形這幾個特殊圖形之間的邏輯關系進行梳理。在平行四邊形的內涵中添加一個角是直角，就可以得到矩形的概念，而添加一組鄰邊相等則可以得到菱形的概念;將對角線相等添加到菱形的內涵中，即可獲得正方形的概念。其邏輯關系見圖1。

橫向聯系是新概念與不同體系內的其他概念之間的聯系。例如，在函數部分，函數與方程和不等之間的聯系即屬于數學概念的橫向聯系。這種聯系在實際學習中發揮著十分重要的作用。在一次函數學習中，可以結合一次函數的圖象判別二元一次方程組的解的情況。在數學概念的實際教學中，教師可以通過等價教學的思路，將不同的數學概念進行串聯，以構建起概念之間的多種聯系。例如，在講解直線y=kx+1經過點A（2，3），試求k的值時，可以引導學生理解直線y=kx+1經過點A（2，3）也就是點A（2，3）在直線y=kx+1上，進一步理解為x=2，y=3滿足解析式y=kx+1，這樣就可以將學生未曾解答過的一次函數的問題轉化為一元一次方程的問題，同時通過將方程的概念融入函數教學，促進學生在學習過程中盡快構建起方程與函數之間的橫向聯系。

因此，數學概念教學的圖式階段也是一個長期的過程，需要不斷深入地進行教學和學習。但是，這種綜合性的數學概念圖式一旦在學生的頭腦中形成，數學概念也會深入到學生的知識結構和思維當中，在遇到相關的問題時就能迅速作出判斷并予以解決。

數學概念的學習歷來受到學術界和教學界的重視，但是既往的數學概念教學重記憶、輕理解，教學效果得不到大幅提高。將數學概念教學和數學理解相互結合，探討基于數學理解的數學概念教學新模式，具有重要的理論意義和實踐價值。當然，要真正實現基于數學理解的初中數學概念教學，需要在教師合理利用各種教學手段開展初中數學概念教學，引導學生的主動思維和知識系統構建方面進行持續不斷的研究。

參考文獻

[1] 林武.數學概念教學的誤區分析及對策研究[J].教育評論，2014（08）.

[2] 聶東明.數學概念教學中的交互模式與策略[J].教育理論與實踐，2012，32（03）.

[3] 李士琦.數學教育心理[M].上海：華東師范大學出版社，2001.

[4] Ed Dubinsky.Understanding the limit concept：beginning with a Coordinate Process. The Journalof Mathematical 1 Behavior [J].1996.

[5] 周建華.數學概念教學中有效提問的量化研究[J].中國電化教育，2012（06）.

【責任編輯? 郭振玲】