微積分推導與證明新方法

朱和民

摘? 要：該文從研究微分推導中含?項的意義，提出含?項的意義是平均增加速度，切線和法線是曲線上連續三點組成三角形的內外角平分線。在證明積分時，提出將積分求面積問題轉化為求體積問題或轉化為求平均高問題等新算法進行證明，在證明過程中不再需要用到趨于零不為零和黎曼和的約等于就是等于等邏輯自相矛盾的概念，證明過程更符合數學邏輯、更簡潔準確。

關鍵詞：微分? 平均增加速度? 積分? 平均高度

中圖分類號：O172 ? ?文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ? 文章編號：1672-3791（2019）04（c）-0197-04

微分自創立之日至現在一直沒有闡明含?項的意義，含?項的意義不清楚就無法準確解釋為什么在求導時要將其消去。在證明積分時黎曼和求得的面積是明明是約等于，而最后的結果又是等于。這些邏輯自相矛盾的證明是不嚴密的，歷代數學家們雖然提出很多晦澀繁雜的論證，但是在運算時依然得使用這些自相矛盾的概念。比如在求導時，一邊念叨著含?項不為零，一邊又把它們當作零消去，每一次求導都是對求導者邏輯的折磨。該文從微分和積分起源論證微分和積分的邏輯缺陷，并提出新計算方法對微分和積分進行證明。

1? 微積分的起源及其邏輯缺陷

微分的起源有兩個，一是牛頓求時點速度，另一為萊布尼茨求切線。它們的論證過程出現相悖的邏輯問題，自創立之日就引起巨大的爭議，引發第一次數學危機，且持續數百年不斷。

1.1 從速度角度對微分的證明

1.1.1 牛頓通過求時點速度推導微分

微分起源之一為牛頓求時點速度，速度等于距離除時間，時點的距離和時間長度是零，零除零是沒有意義的，無法直接用距離除時間求得時點速度。為了求時點速度，牛頓提出流數理論。例如，作自由落體物體為勻變速直線運動，其距離方程為s=s（t）（s表示位移，t表示時間），求物體在t時點速度Vt。由于在t時點，距離和時長為零，無法求出t時點速度Vt。牛頓的思路是先求得t點到t+?t點時段的平均速度，當時間間隔?t無限小時，?t時段內速度的變化會極小，可以用其代表t時點的速度，即當?t→0時。例如初速為零的自由落體運動公式，?t時段平均速度。當?t→0時，?t等于零，所以t時點速度v=gt。

1.1.2 牛頓求微分過程的邏輯缺陷

牛頓在求時點速度推導微分過程中，當?t作除數時，?t不為零，在求最后結果時又讓含?t項作為零消去。在同一運算過程中?t一時不為零，一時又要作為零消去的推導過程，存在自相矛盾的邏輯缺陷，曾引發第一次數學危機。

1.1.3 牛頓求微分的悖論：自由落體運動為勻速運動。

牛頓為求t時點速度，求s'得到s'=gt+?t，當?t→0時，求其極限，把含有?t的?t消去，得到式子Vt=gt，進而得出時點速度公式（即導數）公式V=gt。牛頓推導過程存在邏輯問題，從理論上講t時點和t+?t時點均有一個速度，而自由落體運動為勻速運動，gt+?t無限接近t時點速度同時也會同等接近t+?t時點速度，如果gt+?t能代替t時點速度，也能代替t+?t時點速度，t時點和t+?t時點將會相等的悖論。把時間t把代入求得t時點速度vt=gt，把時間t+?t代入求出t+?t時點的速度Vt+?t=g（t+?t）=gt+g?t，而?t→0，同理也應將g?t消去，求得t+?t時點速度Vt+?t=gt，而Vt+?t=gt=Vt，兩者速度相等，依此類推，Vt+n=gt=Vt（n為任意時點），這就意味著自由落體運動任意時點速度均相等是勻速運動的悖論。

1.1.4 牛頓的證明存在邏輯矛盾而結果卻正確的原因

牛頓目標是求t時點的速度，而運算求得的是t時點至t+?t時點時間間隔內（即?t時間段內）平均速度，?t時間段內平均速度與t時點的速度是不相等的，要求得t時點的速度，要將平均速度gt+?t減去平均速度與t時點的速度之差?t。這就是為什么牛頓邏輯錯誤而結果正確的原因。

對于勻變速運動，除了用位移除時間求平均速度外，還可以用兩點速度之和除2方法求得，用此方法求得的速度公式就不存在糾結?t是否為零的問題。靜止物體從高處自由落下，其距離公式為，初速度v0=0，t時點速度Vt，t時段內平均速度，物體距離公式也可以用平均速度乘上時間表示，即s=，，所以公式，約簡后得到速度公式vt=at。

1.1.5 含?t項式子的意義

在微分推導過程中，只是一味將含?t項當作垃圾項消去，從未闡明含?t項的意義，只有闡明含?t項的意義，才能真正論證清楚為什么要將含?t項消去。我們依然以自由落體為例來論證，對求導則有，的意義是質點在?t時間段運動過的距離?s除時間?t，它的意義就是質點在?t時段內的平均速度，而?t的意義是質點在t時點的速度，g?t的意義是在?t時段內，質點因增加?t時間而增加的速度平均數，即平均增加速度。

假設距離與時間存在如下關系s=t3，則質點在?t時段平均速度，則3t2+3t?t+?t2為t點到t+?t點平均速度，3t2為t點速度，3t?t+?t2為t點到t+?t點的平均增加速度。根據時點速度公式v=3t2，將t+?t代入可以求得t+?t時點速度Vt+?t=3t2+6t?t+3?t2。當然我們也可以根據v=3t2求得在?t時段內，在何時點達到平均速度3t2+3t?t+?t2。求法如下：假設在x時點達到平均速度，則有3x2=3t2+3t?t+?t2，解方程求得x=。假設在t+x時點達到平均速度則有3（t+x）2=3t2+3t?t+?t2，解方程得x=-t。依此類推，假設距離與時間存在如下關系s=tn，則質點在?t時段平均速度含?t項，則ntn-1+含?t項為t點到t+?t點的平均速度，ntn-1為t點速度，含?t項為t點到t+?t點的平均增加速度。含?項的意義就是因自變量時間t變化?t時間導致平均增加速度的變化。