面向信息安全的離散數學理實一體教學探索

孫登第　丁轉蓮　程凡

摘要：信息安全專業是近年來興起的信息科學新分支，具有交叉性、前沿性、應用性等顯著特征。論文面向信息安全專業的核心基礎課程——離散數學展開理實一體教學模式探索，以理論教學為基礎、以實踐應用為主線貫穿離散數學教學過程。通過教學體系、教學方法、教學內容和教學實踐四個階段相互關聯，逐層推薦，形成信息安全專業的離散數學教學體系，為信息安全其他課程奠定堅實的理論與實踐基礎。

關鍵詞：信息安全;離散數學; 教學實踐;課程體系

中圖分類號：G642 ? ? ? ?文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2019）13-0121-02

Abstract： Information security major is a new branch of information science in recent years. This paper is aimed at the core basic course of information security， discrete mathematics， and explores the theory-practice integration teaching mode， which consisted of four stages： teaching system， teaching method， teaching content and teaching practice. The four stages performs layer by layer to form the discrete mathematics teaching system， and lay a solid theoretical and practical foundation for other courses for information security major.

Key words： information security; discrete mathematics; teaching practice; curriculum system

1 引言

離散數學研究離散對象的存在、計數、結構及其相互關系，其思想與方法體系廣泛地體現在以計算機科學與技術為代表的信息科學諸多領域中[1]。從科學計算到信息處理、從理論計算機到計算機應用技術、從計算機軟件到計算機硬件、從人工智能到認知系統，無不與離散數學密切相關。在此背景下，自80年代國內外高校紛紛獨立設置信息類專業以來，離散數學課程就成為信息科學的許多專業課程，如數據結構、操作系統、編譯原理、數據庫、算法設計、計算機組成、人工智能等必不可少的先行課程，旨在通過離散數學的教學使學生具備處理離散數據與結構的數學方法與計算工具，為后續課程的學習創造先行條件，同時提高學生抽象思維和嚴密的邏輯推理能力，為將來參與創新性的研究和開發工作打下堅實的基礎[1，2]。

近年來，隨著信息技術與大數據的迅猛發展，社會大步邁入了網絡時代。然而，互聯網在為人們提供極大便利的同時也帶來了不可忽視的負面沖擊，使得信息安全問題日益凸顯，嚴重威脅著經濟社會的健康、穩定和可持續發展[3，4]。因此，社會的網絡化迫切需要對信息安全開展系統性的研究和探索，并由此促使信息安全理論與技術不斷進步、完善，逐步成長為信息科學中一個重要的新分支——“信息安全”學科，形成自身的學科體系。在信息安全學科專業課程體系中，離散數學課程具有至關重要的作用，直接為信息安全核心課程提供邏輯基礎與算法、協議支持，影響信息安全知識體系構建。

然而，通過調研得知，現階段國內高校離散數學課程教學普遍存在著“重理論、輕實踐”的問題，即過分強調理論的推演、證明，而忽視了所學知識在現實中的應用實踐。這種不均衡的教學模式顯然不利于信息安全專業的教學與人才培養。信息安全是一門理論與應用兼顧的新興學科，它要求學生即要有深厚的密碼學基礎，又要具備很強的實踐操作能力。離散數學作為信息安全的專業核心課程具有知識點密集且相互交織、背景理論涉及面廣、具體應用不突出的特點。這使得信息安全專業的本科生剛一接觸離散數學即覺得深奧、晦澀、難以理解，導致學生學習積極性不高，進一步影響了后續課程的學習與系統培養，因此必須形成“理實一體”的離散數學教學模式，同時兼顧理論與實踐，支撐信息安全專業課程體系。

2 信息安全離散數學理實一體教學探索

鑒于離散數學在信息安全專業教學中的巨大作用，本文將從離散數學教學體系、教學方法、教學內容和教學實踐四個方面分別展開論述，以形成面向信息安全的離散數學理論與實踐一體化教學模式。

2.1 解析專業內涵，優化課程教學體系

離散數學的基本思想、基本理論與方法已經滲透在信息安全專業的各個方面中，因此必須深挖信息安全專業內涵，從中提煉出分散的離散數學知識，并以此優化離散課程教學體系為能實現對信息安全專業教學的可靠支撐。與經典的連續數學不同，離散數學所包含的內容更為龐雜廣博，糅合了集合論、代數學等多門數學學科中有關離散對象的概念內容。學界通常將其歸結為數理邏輯、集合論、代數結構和圖論四部分。在傳統的離散數學教學中，各部分內容逐章講述，缺乏側重點，授課內容一般僅停留在書本知識表面，內容較為淺顯，缺乏知識點背后的進一步延伸與下層應用能力。這種源自傳統數學學科的單層教學模式只要求學生掌握最基本的普遍理論與通用性方法，而對處于前沿工程領域的信息安全專業，顯然無法滿足學生知識擴展與實踐應用要求。因此，必須對離散數學課程教學體系層次化，在每部分的教學中逐層深入[5，6]，形成基礎知識——擴展知識——前沿研究——實踐應用四個層面的教學體系，具體示例如下。

數理邏輯——基礎知識（命題邏輯、謂詞邏輯和推理理論等）——擴展知識（邏輯運算、位運算）——前沿研究（形式邏輯、智能算法）——實踐應用（搜索引擎、硬件設計）

集合論——基礎知識（集合、關系和函數等）——擴展知識（容斥、序列）——前沿研究（運籌、密碼）——實踐應用（最優調度、軟件測試、公鑰）

代數系統——基礎知識（代數、半群、群、環、域等）——擴展知識（置換群、李群）——前沿研究（近世代數）——實踐應用（加密算法）

圖論——基礎知識（圖、路徑、回路、樹等）——擴展知識（匹配、著色、支撐、覆蓋）——前沿研究（圖論應用）——實踐應用（指令優化、路徑尋優）

通過上述分層式的教學體系建設，形成更為廣大的教學參考空間，更為豐富、有效的問題解決方案，促進學生專業思維理念的形成。

2.2融入專業知識，精選理論課程內容

離散數學在信息安全專業的整個課程體系中具有極其重要的地位，與后續專業課程聯系極為密切。然而，當前的信息安全專業教學往往將離散數學與其他相關課程嚴格區分開來，強調離散數學的數學理論講授，而不涉及與其緊密相關的信息安全知識;其他課程只講授應用問題與方法，而缺乏理論背景與基本原理，這無疑造成了信息安全專業教學中的知識割裂，加劇了課程體系的碎片化、斷層化。通過長期的教學研究與調研發現，針對信息安全專業具體性、實用性的教學需求，可以從以下兩個方面優化調整離散數學課程內容。

首先，根據教學大綱的要求，離散數學的教學要為信息安全專業的學生提供數學、邏輯、算法等方面的策略、思維與技術支持，提高學生解決信息安全實際問題的能力。因此，離散數學的課程內容必須與其他課程密切結合起來，形成橫向的課程關聯，如圖1所示。在此基礎上，依據其他課程與實際專業需求進一步調整、精選離散數學課程內容使其更具兼容性。這種調整也可以與前述課程教學體系的層次優化相結合，互為依托。以滿足信息安全專業建設需求。

其次，離散數學是大學初期的計算機數學類課程，其主要內容，如集合論、代數系統等與先行課程“線性代數”和后續課程“組合數學”是一脈相承的，這些課程共同形成信息安全專業的數學體系，因此在離散數學的教學內容也必須體現這種縱向關聯。值得注意的是，前述離散數學課程教學體系調整也是強調課程內容的線性排布與逐層深入，這與離散數學的縱向教學恰好一致，可以進一步加深課程內部關聯與外延擴展，增強信息安全專業的學生對相關數學知識的系統掌握，形成前后連貫、層次分明的數學理論體系。

2.3 創新教學方法，調動學生積極性

傳統的離散數學教學注重理論知識的傳授，而忽略應用實踐。針對信息安全專業課程的研究性、前沿性特點，在離散數學的教學環節中要充分調動學生積極性與主動性，借助啟發式教學法、情景式教學法、講座式教學法等行之有效的交房方法，講教結合，強調知識與能力并進，引導學生自主思考，形成以學生為中心，課堂講授、廣泛閱讀和自我探索相結合的教學方法體系，使學生不僅掌握信息安全基本知識，還能把握信息安全背景與發展趨勢、了解信息安全前沿熱點、具備創新意識與知識更新能力。

針對信息安全專業課程的實用性、工具性特點，在離散數學的教學中還要注重融入知識應用，借助案例教學的方式提升抽象知識的具體化講述。例如，在密碼學中，凱撒密碼是一種最簡單且最廣為熟知的加密技術[7]。它通過簡單的替換原理將明文中的所有字母都在字母表上進行向后（或者向前）的偏移移動，將明文替換為密文，而其中人為確定的偏移量即是凱撒密碼中的加解密密鑰K。比如，偏移量為3，字母A將被字母D替換，而其中的K為3，即密鑰是3。其他的字母加密以此類推即可。解密的時候倒推回去即可。在離散數學的代數系統理論中，群是具有封閉性、可結合性、含幺元以及每個元素都具有逆元的代數結構。凱撒密碼從本質上說就是建立在26個字母之上，利用字母與密鑰進行運算的剩余模群。通過對群理論的學習和實驗操作，可以極大地加深學生對代數結構理論知識與凱撒密碼典型案例的理解。再比如公鑰密碼學中，費馬小定理和歐拉定理為其提供了數學上的安全性保障。通過案例學習，有助于學生掌握相關離散數學定理，并更好地理解算法安全性與應用機制。

2.4 貫穿實踐應用，推動理實一體

實踐教學是信息安全專業離散數學教學的新要求。傳統的離散數學教學主要通過口頭講授，缺乏學生實踐與師生互動。面對信息安全領域的快速發展與實用需求，單方面的理論課程難以達到預期效果，無法形成覆蓋學、研、做、用的立體教學體系。因此，為適應信息安全專業發展需求，必須建立離散數學實驗課程，將應用實踐貫穿于離散數學教學當中。目前，國內外高校在離散數學實驗課設置方面還都處于摸索階段，可借鑒的成熟例子非常有限，本文將在這方面展開如下探索。

離散數學的實驗教學可以分為實驗、實訓和實戰三個環節。首先，在日常的理論課后輔以實驗教學，重新調整離散數學課程配置，設置一批針對信息安全的實驗內容，并修訂、編寫相應的實驗指導教案與教學課件。其次，依據離散數學主要內容，在數理邏輯、集合論、代數結構和圖論四個階段的理論和實驗教學介紹后，各安排若干與階段學習內容相關的驗證性、綜合性實訓課題，鞏固階段性的理論與實驗教學[8]。最后，在高校現有本科教學實驗室基礎上，通過校企合作、共建實習基地等教學平臺，開展具有一定真實應用價值的大型實戰訓練，瞄準當前信息安全領域前沿問題，嘗試給出基于離散數學知識的解決方案與算法程序，以培養學生對所學知識融會貫通，綜合實踐的能力。此外，還可以依托“信息安全”專業各類競賽，對學生從離散數學理論知識到編程實踐進行系統訓練，充分鍛煉學生抽象知識與創新運用能力。

3 結束語

當前，隨著大數據、云計算、人工智能等新技術的不斷涌現，信息安全日趨重要，促使國內外高校紛紛獨立設置信息安全專業，并受到廣大學子青睞。如何建設系統知識齊備、實踐應用深厚的信息安全專業，是擺在信息科學高等教育面前的重要問題。本文詳細闡述了面向信息安全的離散數學課程教學模式改革思路，通過教學體系、教學方法、教學內容與教學實踐四個層次相互關聯，逐層推進，搭建離散數學理論與實踐一體化教學體系，以強化學生的邏輯思維能力和抽象思維能力。

參考文獻：

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[8]倪海軍，劉文文.計算機輔助設計課程教學方式探析[J].電腦知識與技術，2019，15（03）：114-115.

【通聯編輯：王力】