線性代數課程內容的關聯性研究與實踐

孟小燕 　朱鐵鋒

[摘 要]線性代數是一門重要的工具性課程，其高度抽象性，大量的概念、性質、定理，繁雜的運算給學生學習增加了難度.從課程特點出發，著眼于課程的整體結構，建構知識關聯，由此增加教與學的連貫性、系統性，是提高學生理解能力和拓展學生思維的有效途徑;在夯實基礎的前提下，注重實際問題研究，借助數學軟件、數學實驗化解計算問題，使抽象概念直觀化，均可有效提高線性代數課程的教學質量和效率.

[關鍵詞]線性代數;關聯性;整體性;知識結構;教學方法

[中圖分類號] G642.3 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2019）07-0118-03

線性代數幾乎是所有高校理工科及經管專業都會開設的一門專業基礎課程.如果說微積分采用“由曲化直”的思想將非線性的問題轉化為線性問題，如變速直線運動的路程、弧長、曲邊梯形的面積、曲頂柱體的體積等，線性代數則是研究線性問題的重要工具，廣泛應用于自然科學和社會科學中，特別是在圖形編程與機器學習領域的應用無處不在，對學生后續的專業學習具有重要的基礎性意義.從初等數學到線性代數的思維跨度要比高等數學、概率與數理統計大得多.初入大學校門，很多學生不難理解并接受函數、數列、極限、導數等概念，但卻對線性代數的各種符號、運算望而生畏.線性代數具有高度的抽象性與邏輯性，根據課程的特點，找到知識內容的邏輯脈絡，疏通概念間的關聯，將零散的知識點進行整合，并加以分析、總結歸納是促進學生對課程的理解，培養他們良好的邏輯思維能力、分析解決問題能力的重要途徑.

一、線性代數課程部分知識內容建構

線性代數的特點之一是概念多、性質定理多、運算規律多、運算量大，各章內容看似相互獨立，實則前后知識銜接緊密.以同濟大學數學系主編的《工程數學—線性代數》第六版為藍本，其主要內容包括六部分即行列式、矩陣、線性方程組、向量組的線性相關性、相似矩陣及二次型、線性空間與線性變化，其所使用的研究工具則是矩陣和行列式，這些看似不相關的內容在其表現形式上存在著一一對應的關系[1]：如線性方程組與矩陣，矩陣與向量組，矩陣的秩、初等變換與向量組的秩、線性方程組解的結構，行列式與n元一次線性方程組、方陣、可逆矩陣、特征多項式等.在教學中，教師可以將其中一項內容作為課程內容的出發點，建構與其他各分支的關聯，逐層遞進，從而形成系統的知識體系，化解抽象概念多的難題.

（一）以線性方程組為出發點，建構線性方程組—矩陣間的知識脈絡

由于學生原有的認知結構中已經具備了方程組的知識，二元、三元一次線性方程組的解法學生非常熟悉.因此，將線性方程組的高斯消元法引入課程較符合學生的認知規律.將線性方程組中未知數的系數、常數項按原有的位置順序保持不變，排成一個數表，進而順其自然地引入矩陣的概念.通過線性方程組消元法的復習回顧，可以引導學生發現解方程組的過程事實上就是同解變形的過程，而這一過程參與運算的只有未知數的系數和常數項，對應矩陣的三種行變換即對換變換（[ri?rj]）、倍乘變換（[ri×k，k≠0]）、倍加變換（[rj+kri]），也就是矩陣的初等行變換，與初等列變換一起統稱為矩陣的初等變換.通過矩陣的初等變換可以將矩陣化為行階梯形矩陣，進而化為行最簡形矩陣，由此解決求逆矩陣、求矩陣的秩等問題.從矩陣的乘法運算規律出發，又可以將[n]元線性方程組簡寫成[Ax=b]的形式，其中[A]是方程組的系數矩陣，[x]，[b]分別是未知數、常數項所組成的列矩陣，從而利用矩陣初等變換求[A-1]的方法關聯解線性方程組;同時可以利用矩陣初等變換求秩的方法與線性方程組[Ax=b]解的結構建立關聯.如圖1所示.

（二）以行列式為起點，建構行列式—線性方程組、矩陣間的知識脈絡

行列式和矩陣都是線性代數中的重要工具.如果說利用矩陣的初等變換可以解決廣義的[n]元線性方程組求解問題，那么當遇到方程的個數與未知數的個數相同的情形時，還可以利用行列式來解線性方程組，即用克拉默法則求解.從二階、三階行列式引入高階行列式的定義，進而探討行列式的性質、展開法則、運算技巧等.行列式的計算并不是課程的主要內容，但作為后續方陣相關運算的鋪墊或是[Cramer]法則求解的先導知識，還是需要作為一塊獨立的內容加以說明.從本質上講行列式是一個數，矩陣是一個數表，二者本沒有什么關聯，當矩陣的行數與列數相同時，如果引入[n]階方陣的概念，矩陣和行列式之間就會建立關聯.研究方陣的行列式，利用行列式判斷矩陣是否可逆;矩陣乘積的行列式等于行列式的乘積[AB=AB];利用伴隨矩陣[A*]求逆矩陣，伴隨矩陣[A*]又是由[A]的各個元素的代數余子式[Aij]構成的;求矩陣的特征多項式[A-λE]、求特征根;相似矩陣的行列式值相等;正交矩陣其行列式的值為[±1]等，可以通過梳理各部分知識的關聯，幫助學生建立清晰的邏輯結構.如圖2所示.

（三）以向量組為起點，構建向量組—矩陣—線性方程組的知識脈絡

《向量組的線性相關性》一章涉及的概念非常多，學生接受起來尤其困難.“線性組合”“線性表示”“向量組等價”“線性相關”“線性無關”等概念“如濃濃迷霧滾滾而來”[2]，學生深陷其中，茫然不知所云.事實上，向量組、矩陣、線性方程組之間存在著緊密的聯系，只要注重內容的整體性，深入淺出地闡明它們之間的關系，便可以有效突破學習內容的重點與難點.

首先是向量組與矩陣間存在一一對應的關系，其實質上就是矩陣按行或按列分塊的問題.從分塊矩陣的角度按列劃分，一個[n]行[m]列矩陣[A]可以看成是含[m]個[n]維列向量的向量組[A：a1，a2，…，am]，反之含有有限個向量的向量組總可以構成一個矩陣.明確這一對應關系，對于進一步探討向量組的線性關系起到重要的鋪墊作用.

綜上可得，線性方程組[Ax=b]解的結構以及與秩的關系是研究向量組線性相關性的重要基礎.線性組合、線性表示可以轉化為線性方程組[Ax=b]是否有解的問題;向量組等價可以轉換為矩陣方程[Ax=B]是否有解的問題;線性相關、線性無關可以轉化為齊次線性方程組[Ax=0]有非零解、有唯一零解的問題;向量組的線性相關性從向量的角度重新刻畫了線性方程組的解，并給出其通解的結構，與矩陣的秩三大重要的知識模塊相互銜接，彼此滲透，形成一個有機整體，無法割裂開來單獨研究.如圖3所示.

二、理清知識脈絡，把握整體內容格局

縱觀各章，可以發現線性方程組及其相關內容是線性代數課程的教學主線.《行列式》一章中克萊姆法則解決的是方程個數等于未知數個數且系數行列式不為零的線性方程組的解;矩陣及其運算中，矩陣乘法為線性方程組提供了一種簡潔的表示方法;矩陣的初等變換除給出了廣義的線性方程組的求解方法外，同時總結出矩陣的秩與線性方程組解的關聯;向量組的線性相關性從向量的視角探討了線性方程組解的結構;相似矩陣及二次型、線性變換是承接基本概念與典型應用的重要知識點，與前面諸多內容都存在內在聯系.

在教學中，教師應采用啟發式與參與式教學方法，從宏觀上把握教學主線，從微觀上引導學生梳理各章節的知識脈絡，深入淺出地揭示不同概念、原理間的聯系，從而使學生在頭腦中逐步建立清晰的知識結構，思維得到拓展，分析處理問題的能力有所提升，有效完成知識、問題間的相互轉化，化難為易，增強學習成就感.

三、夯實基礎，優化教學方法

學生的學習困惑除來源于線性代數課程中大量的概念、性質、定理、推論以及令他們無法想象的抽象符號外，還來源于他們現有的認識水平很難找到將線性代數用于解決實際問題的情境.在授課中，結合學生所學專業，引入實例，闡明背景，讓學生認識到課程的有用性，幫助學生建立正向的學習動機，也是課程教學體系的重要組成部分，而不僅僅是理論、方法的灌輸.線性代數課程中煩瑣的運算也是令學生望而生畏的原因之一，會影響課堂效率.借助數學軟件，既可以解決復雜的計算問題，更能給學生帶來更加直觀的學習體驗。在課程教學中融入計算機技術、數學實驗也能激發學生的學習積極性.

四、結語

線性代數是一門重要的基礎課程，其抽象性決定了其學習的難度，其廣泛的應用性又同時要求學生必須掌握相關知識，做到學以致用.對課程內容的關聯性的研究是解決其抽象性的有效路徑，同時在夯實基礎，明晰課程知識結構的前提下，結合課程內容，注重實例研究，借助數學實驗突破學習難題，切實做到教與學有的放矢，這些教學方法都為線性代數教學實踐帶來巨大推動力，有助于更好地提高課程教學質量和效率.

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 金英善，賈睿.線性代數教學方法改革實踐探索[J].遼寧科技大學學報，2013（5）：541-544.

[2] 朱琳，蔣啟芬.國外線性代數的教學研究述評[J].數學教育學報，2018（1）：79-84.

[3] 同濟大學數學系.工程數學線性代數[M].6版.北京：高等教育出版社，2014：81-107.

[4] 江蓉，王守中.矩陣的秩在線性代數中的應用及其教學方法的探討[J].西南師范大學學報（自然科學版），2012（8）：175-180.

[責任編輯：龐丹丹]