基于最小二乘法的比賽組隊設計

周海

摘 要：在現實生活中，都有著各種各樣的比賽，為了取得最好的成績，參與者需要選拔最優秀的人員或隊伍去參加比賽，如何選拔優秀人員以及科學組隊便是首先需要解決的問題。隨著近年來的組隊比賽越來越多，成功的組隊愈發重要。對于比賽組隊篩選方式，選拔以及組隊的依據主要是考慮隊員的各項能力，包括隊員的背景，性別，協作能力，以及各種技能，通過構建數學模型，較為快速的拼選出合適的組隊方案。

關鍵詞：最小二乘法;蠻力法;逐次選優;MATLAB擬合工具箱

建立這個模型時，其前提是為每個隊當做一個整體計算，將隊伍中隊員們在某項能力上的均值作為該隊在這個能力上的數值，且忽略一個隊中每個隊員能力的差異。[1]

在對問題所采集的數據進行處理時，首先將每個人的性別取1和0（男和女），而隊伍的性別比例則就有0，1/3，2/3，1共四種。因為背景不是簡單的數值，為了使問題簡單化，我們將性別和背景剔除，直接以協作能力和技能一到四為自變量，獲獎等級為因變量，使用matlab求得這五種變量的多元線性回歸方程。又因為問題所提供的數據有三組，我們將其分開求得線性回歸模型。

通過matlab求解發現，數據給的第一第二屆在參數檢驗的顯著性上大于0.05，且第二屆擬合優度過低，因此數據不具有參考性。我們由此將第一第二屆的數據舍棄，單獨使用第三屆的數據去推導今年的組隊情況模型。我們求得協作能力與技能一到四對獲獎等級的影響，由相關系數推出這五項能力對獲獎影響的權重。通過以上求解過程的反饋，我們在第一問中舍去背景，僅對性別，協作和技能構建了多元線性回歸模型，[2]如下：

y=γ0+γ1*x1+γ2*x2+γ3*x3+γ4*x4+γ5*x0+γ6*x5;

其中設xi（i=1，2，3，4）為技能一到四，x0為協作能力，x5為性別（x5=1或0）。xi（i=0，1，2，3，4，5）為自變量，而設獲獎等級y為因變量，因為計算中P<0.05，則回歸模型y=15.1160+0.0023*x1+0.0154*x2-0.0311*x3-0.0646*x4-1.5736*x0-1.0938*x5成立。由上述表達式可知，我們應該優先選擇技能3和技能4測試成績優異的選手，且協作能力也要求盡量平均。

該問題主要是從200位參賽人員中篩選出最有幾率獲得最佳獎項的三支隊伍，因此我們通過分析。有兩種篩選組合的方法。

（1）這三支隊伍的組成是三名綜合能力最優的選手。

（2）充分優勢互補（例如背景D中會對技能1與3能力數值互補）的選手。

而我們在第一問中通過對背景的枚舉出最適宜的5種背景組合方案，從而縮小了我們需要判別的數據量。

這個過程中主要是通過python和excel的數據篩選，在excel統計出待選拔的人員中各個背景的人數后通過蠻力法枚舉出的合適的背景組合。

由于前面的解法當中，我們沒有分析一個隊伍當中性別比例對比賽結果的影響，因此在接下來的開始部分我們擬打算先分析性別比例對于比賽結果的影響，然后再結合所有的影響因子進行篩選分析。

首先我們將三屆的所有人員的性別以及獲獎等級作為變量進行分析，分析在不同的性別比例之下，不同的獲獎等級當中男女比例的不同在其中所占的比例大小。我們通過對數據進行處理后通過餅圖的方式展示出來。

根據以上我們可以非常直觀的得出以下規律：在以往的參賽隊伍當中，三個人的搭配是二男一女的搭配占獲獎比例的人數較高。也就是說搭配隊伍盡量以兩個男生和一個女生搭配，這樣的參賽隊伍可以保證獲獎幾率要比獲得同等級的參賽的其他搭配方式要高，而且非常不建議三個女生搭配，因為從以往的三屆的數據來看，沒有一支獲獎隊伍是由三個女生組成的。

這時候我們仍然選用由前面的回歸得到的比例因子給待參賽人員進行排序后的人員表，由于在第三問中題目要求我們選出來的隊伍的水平盡量高并盡量平衡，因此我們還需要對現有的數據進行篩選。

想到可以先將待選的人員當中能力異常突出和能力非常弱的人員剔除后再進行選擇，由于我們對待選人員的一個離散情況不太了解，因此我們先將所有人員編個號，然后將各自的加權能力值在二維坐標當中顯示出來。

通過分析我們可以發現可以找到這樣的一條回歸線使得大部分的點集中在該線的兩側，因此我們可以在這個回歸線的兩側選出合適的點來組隊，但是選擇合適的一個標準使得線兩側的人員組成的集合能力值盡可能平均仍然有些困難，于是我們打算將原人員進行一次排序之后再進行相應的擬合找出一條線，看看是否會更加容易。[3]

同時我們可以直觀發現一頭一尾的數據過于零散，因此我們可以將其刪除后用剩下的人員進行相應的安排。通過擬合之后我們發現擬合結果也非常滿意。

這時候我們考慮到前面我們分析的性別對于比賽結果的影響的結論，我們打算采用二男一女的組合方案進行組合，將男女人員分開后進行由大至小排序后如下：

第一種篩選方法我們按照順序每次選擇男生列表里面的前兩個與女生列表的前面一個進行組合成一支隊伍，這樣的隊伍既符合隊員之間能力差別不大而且男女比例的分配也合理，后面的隊伍依此類推。

這樣得到的結果既滿足了不同的背景，而且當不同背景的人員方案有多數的時候選擇不同背景可以進行技能的優勢互補的情況選出最佳方案，同時也使得各個隊伍之間的能力綜合值比較平衡，性別也沒有全部一樣，滿足要求。

參考文獻：

[1]啟源，等譯.Frank R.ordano，Maurice D.Weir，William P.Fox[美].數學建模[M].北京：機械工業出版社，2005.

[2]姜啟源，謝金鑫，葉俊.數學建模[M].北京：高等教育出版社，2011.1.

[3]Saravanan M，Ravindran B，Raman S. Improving legal document summarization using graphical models[C].Legal Knowledge and Information System，JURIX 2006：The Nineteenth Annual Conference，Paris：IOS Press，2006：51-60.