一類系偽Smarandache函數與混合型簡數根函數方程的解

張明麗，高 麗，申江紅

(延安大學數學與計算機科學學院，陜西延安716000)

1 相關引理

引理1[8]當n≥2時，有φ(n)

引理2[3，4]：由簡數定理知，

引理4[10]：對于素數p與k≥1，有

φ(pk)=pk-pk-1。

引理5[10]：對于任意的正整數n，將偽Smarandache函數Z(n)定義為最小的正整數m，同時滿足

引理6[10]：對任意素數p≥3，Z(p)=p-1。

延安大學校級科研計劃資助項目(YD2014-05)

作者簡介：張明麗(1994—)，女，陜西定邊人，延安大學碩士研究生。

引理7[10]：對任意素數p≥3及k∈N+，Z(pk)=pk-1；當p=2時，則有Z(2k)=2k+1-1。

引理8[10]：Z(n)非加性函數，即Z(n+m)不恒等于Z(n)+Z(m)，且Z(n)也非積性函數，即Z(nm)不恒等于Z(n)Z(m)。

2 主要結論及其證明

定理1 對于任意的正整數n，混合函數方程：

Z(n)=sim(φ(n))

僅有正整數解n=1，3，5，7，10。

證明：對于混合函數方程

Z(n)=sim(φ(n))

(1)

由引理1，主要分以下兩種情形討論：

情形一：當0

情形二：當n≥3時，φ(n)為偶數，由引理2知，此時

1.當φ(n)≡0(mod9)時，令φ(n)=18l(l∈N+)，此時sim(φ(n))=sim(18l)=9，即Z(n)=9。

1.1 當n為奇數時，由引理3—引理8，我們分為以下幾種情況進行討論：

i)n=p，且p≥3為素數，Z(p)=p-1=9，即p=10與其為素數矛盾，故此時(1)無解。

ii)n=ps，p≥3為素數且s>1，Z(ps)=ps-1=9，即ps=10(不存在)，故此時(1)無解。

iii)n=p1s1pss2…ptst，(其中p1s1p2s2，…，ptst均大于等于3，si≥1,0≤i≤t,t≥2)，如果Z(n)=9，根據Z(n)的定義，既滿足定義又滿足n|45的只有n=45，而sim(φ(45))=sim(24)=6，與前提條件矛盾，故此時(1)無解。

1.2 當n為偶數時，我們分為以下幾種情況進行討論：

i)n=2α，且α≥2時，Z(2α)=2α+1-1=9，即2α+1=10(不存在)，故此時(1)無解。

ii)n=2αps，p≥3為素數且α>0，s≥1，如果Z(n)=9，根據Z(n)的定義，既滿足定義又滿足n|45的只有n=45(為奇數)與條件矛盾，故此時(1)無解。

iii)n=2s0p2s1p2s2…ptst，(其中p1s1,p2s2，…，ptst均大于等于3，si≥1,0≤i≤t,t≥2)，如果Z(n)=9，根據Z(n)的定義，既滿足定義又滿足n|45的只有n=45(為奇數)與條件矛盾，故此時(1)無解。

2.當φ(n)≡r(mod9)且0

2.1 當l為奇數時，由于r=1，即Z(n)=1時，n=1歸類于情形一，下面依次討論r=3，5，7的情況。

當r=3，Z(n)=3時，n=2,6，

sim(φ(2))=sim(1)=1，

sim(φ(6))=sim(2)=2，

經驗證可知此時(1)無解。

當r=5，Z(n)=5時，n=15，

sim(φ(15))=sim(8)=8，

經驗證可知此時(1)無解。

當r=7，Z(n)=7時，n=4,14,28，

sim(φ(4))=sim(2)=2，

sim(φ(14))(不存在)，

sim(φ(28))=sim(12)=3，

經驗證可知此時(1)無解。

2.2 當l為偶數時，r=2，4，6，8，下面依次進行討論。

當r=2，Z(n)=2時，n=3，

sim(φ(3))=sim(2)=2，

此時式(1)有解n=3。

當r=4，Z(n)=4時，n=5,10，

sim(φ(5))=sim(4)=4，

sim(φ(10))=sim(4)=4，

此時式(1)有解n=5,10。

當r=6,Z(n)=6時，n=7,21,

sim(φ(7))=sim(6)=6,

sim(φ(21))=sim(12)=3，

此時式(1)有解n=7。

當r=8，Z(n)=8時，n=9,12,18,36,

sim(φ(9))=sim(6)=6,

sim(φ(12))=sim(4)=4,

sim(φ(18))=sim(6)=6,

sim(φ(36))=sim(12)=3，

此時式(1)無解。

定理2 對于任意的正整數n，混合函數方程：

Z(n2)=sim(φ(n2))

僅有正整數解n=1。

證明：對于混合函數方程

Z(n2)=sim(φ(n2))

(2)

由引理1，主要分以下兩種情形討論：

情形一：當n=1時，φ(n2)=1，此時

sim(φ(n2))=sim(1)=1，

而Z(n2)=1，故此時式(2)有解為n=1。

情形二：當n≥2時，φ(n2)為偶數，由引理2知，此時

sim(φ(n2))=

1.當φ(n2)≡0(mod9)時，令φ(n2)=18l(l∈N+)，此時sim(φ(n2))=sim(18l)=9，即Z(n2)=9。

1.1 當n為奇數時，由引理3—引理8，我們分為以下幾種情況進行討論：

i)n=p，且p≥3為素數，Z(p2)=p2-1=9，即p2=10與其為素數矛盾，故此時式(2)無解。

ii)n=ps，p≥3為素數且s>1，Z(p2s)=p2s-1=9，即p2s=10(不存在)，故此時式(2)無解。

iii)n=p1s1p2s2…ptst，(其中p1s1,p2s2，…，ptst均大于等于3，si≥1,0≤i≤t,t≥2)，如果Z(n2)=9，根據Z(n)的定義，既滿足定義又滿足n2|45的只有n=3，而sim(φ(32))=sim(6)=6，與前提條件矛盾，故此時式(2)無解。

1.2 當n為偶數時，我們分為以下幾種情況進行討論：

i)n=2α，且α≥2時，Z(22α)=22α+1-1=9，即22α+1=10(不存在)，故此時式(2)無解。

ii)n=2αps，p≥3為素數且α>0，s≥1，如果Z(n2)=9，根據Z(n)的定義，既滿足定義又滿足n2|45的只有n=3(為奇數)與條件矛盾，故此時式(2)無解。

iii)n=2s0p1s1p2s2…ptst，(其中p1s1,p2s2，…，ptst均大于等于3，si≥1,0≤i≤t,t≥2)，如果Z(n2)=9，根據Z(n)的定義，沒有既滿足定義又滿足n2|45的n，故此時式(2)無解。

2.當φ(n)2≡r(mod9)且0

2.1 當l為奇數時，由于r=1，即Z(n2)=1時，n=1歸類于情形一，下面依次討論r=3,5,7的情況。

當r=3，Z(n2)=3時，由于這樣的正整數n不存在，故此時式(2)無解。

當r=5，Z(n2)=5時，由于這樣的正整數n不存在，故此時式(2)無解。

當r=7，Z(n2)=7時，n2=4，即n=2，

sim(φ(22))=sim(2)=2，

經驗證可知此時式(2)無解。

2.2 當l為偶數時，r=2，4，6，8，下面依次進行討論。

當r=2，Z(n2)=2時，由于這樣的正整數n不存在，故此時式(2)無解。

當r=4,Z(n2)=4，時，由于這樣的正整數n不存在，故此時式(2)無解。

當r=6,Z(n2)=6，時，由于這樣的正整數n不存在，故此時式(2)無解。

當r=8，Z(n2)=8時，n2=9,36，即n=3,6，

sim(φ(32))=sim(6)=6，

sim(φ(62))=sim(12)=3，故此時式(2)無解。