數形結合明晰算理

黃趙勇

【教材分析】

“小數乘小數”一課是人教版教材五年級上冊“小數單元”的例3，安排在“小數乘整數”之后學習，為后續的“小數除法”的學習鋪墊。教材編排意在從問題情境中引出小數乘小數的生活需求，在計算方法上只展示出列豎式這一種計算方法，包含著轉化成整數乘法計算的思想，用“積的變化規律”作為計算的算理解釋。（如下圖）

【學情分析】

學生在前期的學習中已經掌握了“整數乘整數”“小數乘整數”的計算方法和算理，也有了算法多樣的經驗積累，如通過單位換算來將小數轉化為整數計算和列豎式計算等。同時，學生也有一定的知識遷移經驗積累，能密切感受到小數與整數之間的聯系與區別。但是，學生較難從數的意義角度去思考數的運算，對數的運算算理的理解是淺薄的。

【設計理念】

1.從數的本質上明晰算理

為什么積的小數位數和所有乘數的小數位數之和是一樣的呢？教材給出的解釋是應用“積的變化規律”，但是這并不是算理的本質。積的變化規律應該只能作為小數乘小數的計算方法的演繹推理或驗證方法。華羅庚說：“數（shù）起源于數（shǔ），量（liàng）起源于量（liáng）。”每個數都是計數單位度量的結果，是計數單位的積累。小數是數，小數的運算就應該緊扣數的意義和計數單位，其本質是算理，這節課重點引導學生從數的意義和乘法的意義角度去明晰小數乘法的算理，小數乘小數的本質是計算單位的運算，那么0.1×0.1的算理就是基礎，它表示十分之一的十分之一，0.1×0.1得到了一個新的統一的計數單位0.01。在這個基礎上再理解一位小數乘一位小數的算法。

2.數形結合理解算理

對于小數乘小數的算理和算法的建構，采用數形結合的方法進行探究。對于0.1×0.1的理解，利用百格圖直觀幫助學生理解十分之一的十分之一是百分之一，在此基礎上，再用正方體代表“1”，理解0.01×0.1=0.001。這樣能溝通知識之間的聯系，把握知識的本質，凸顯轉化思想。將一個數與小乘相乘的積與原數的大小進行比較，也能通過條形圖直觀地顯示出來。

3.注重知識網絡建構，促進算法遷移

在小數乘小數計算方法這一基本技能的教學中，注重算法多樣化，讓學生根據已有的關于小數乘整數的計算方法、積的變化規律等知識和經驗來自主探究小數乘小數的計算方法，利用已有知識解決新問題。整數乘法和小數乘法在算理本質上是相同的，幫助學生理解算理之間的聯系：都是若干個計數單位的運算，整數是幾個一乘幾個一，小數乘法是幾個十分之一乘幾個十分之一，得到幾個百分之一……從數的本質上理解了算理后，學生在構建知識網絡的基礎上，自然能進行算法遷移，對于更多位小數的運算迎刃而解，學習能力不斷提升。

【教學目標】

1.知識技能：通過舊知遷移，引導學生自主探究小數乘小數的多種計算方法，并從數的意義角度理解小數乘小數的算理。引導學生總結基本算法，并掌握確定積的小數點位置時特殊情況處理方法。引導學生發現一個因數比1大（或小）時，積和另一個因數的大小關系。

2.過程方法：通過數形結合理解算理，把握數學知識的本質，在自主探究、合作交流匯報中發展學生的思維，在對比溝通中構建知識體系，發展知識遷移能力。

3.情感態度價值觀：讓學生感受數學與生活的聯系，體驗數學的嚴謹性，感受數學知識之間的緊密聯系，感受數學的結構性。

【教學重點】小數乘小數的多種計算方法，并從數的意義角度理解小數乘小數的算理。

【教學難點】小數乘小數的算理理解。

【教學預案】

一、提取信息，提出問題

1.出示情境：（如下圖）

2.從中得到哪些數學信息？能根據這些數學信息提出什么數學問題？

預設1：宣傳欄的面積是多少平方米？

預設2：給宣傳欄刷油漆需要多少千克油漆？

二、初探算法，理解算理（一位小數乘一位小數）

1.列式：解決問題1“宣傳欄的面積是多少平方米”

2.估一估2.4×0.8的近似結果

3.自主探究算法：請用你的方法計算2.4×0.8，并把你的想法表達清楚

4.匯報交流：請你展示你的作品并解釋想法

預設方法①：24分米×8分米=192平方分米=1.92平方米。

追問：如果沒有單位名稱怎么辦？這樣的方法適用于所有的小數乘小數嗎？

預設方法②：24×8=192，從后面數兩位，點上小數點，2.4×0.8=1.92。

追問：為什么小數點點在這里？

預設方法③：列豎式。

追問：列豎式中運用了一個什么數學知識？（積的變化規律）

預設方法④：24個0.1×8個0.1=192個0.01=1.92

追問：為什么是192個0.01，而不是192個0.1呢？

【設計意圖：學生在小數乘整數學習中有一定的知識和經驗累積，給學生自主探究的空間，注重算法多樣化，在不同算法中抓住思維關鍵點進行追問，幫助學生思考算法背后的算理。】

5.數形結合，理解算理

①0.1×0.1

0.1×0.1表示十分之一的十分之一，我們用一個正方形表示1，那么0.1×0.1可以怎么表示呢？

根據學生的描述出示直觀圖（如右圖）：十分之一的十分之一就是一百分之一，也就是0.01，得出0.1×0.1=0.01。

②2.4×0.8

2.4×0.8就是24個0.1乘8個0.1就是129個0.01，也可以用圖表示出來。（如下圖）

6.總結算法，對比溝通

①同學們有了四種思考方法，各用了什么知識方法呢？

總結：單位換算;轉化為整數計算;運用積的變化規律;根據數的意義進行計算。

②各個方法中有什么共同點？

總結：都有24×58=192的計算過程，就是把小數乘法轉化為整數乘法。

【設計意圖：小數的本質是數，通過數形結合，引導學生從數的意義角度去理解一位小數乘一位小數的積為什么要從整數乘得的積后面數兩位點上小數點的原理，因為0.1×0.1=0.01，這是小數運算的真正算理。在多種算法的理解之后，再聯系溝通各種算法不同與相通之處，構建完善的知識體系。】

三、自主學習，遷移算法（兩位小數乘一位小數）

1.列式：解決問題2“給宣傳欄刷油漆，需要多少千克油漆”

2.自主探究計算1.92×0.9

3.展示匯報（重點交流兩個方法）

①利用積的變化規律列豎式

②根據數的意義進行計算

追問：0.1×0.01等于多少？你是怎么想的？

出示直觀圖（如右圖）：把一個正方體看成1，十分之一的百分之一就是它的千分之一。即：

0.01×0.1=0.001

192個0.01×9個0.1=1728個0.001=1.728

四、總結算法，溝通聯系

1.你能用自己的語言總結一下小數乘小數的計算方法嗎？

總結：把小數乘法轉化為整數乘法，先按照整數乘法算出積，再看兩個因數中一共有幾位小數，就從積的末尾起數出幾位，點上小數點。（一乘二數三點）

2.為什么小數乘法可以轉化為整數乘法呢？

小數和整數都是數，數就是由若干個計數單位組成的，不管是整數相乘還是小數相乘，都可以用整數相乘的方法計算，得到的積就是一個新的、統一的計數單位的個數。

整數乘法：（ ）個10×（ ）個10=（ ）個100

（ ）個1×（ ）個1=（ ）個10

小數乘法：（ ）個0.1×（ ）個0.1=（ ）個0.01

（ ）個0.1×（ ）個0.01=（ ）個0.001

3.那么，我們就只會計算一位小數乘一位小數、一位小數乘兩位小數嗎？你還會計算哪些小數乘法？

【設計意圖：將整數乘法和小數乘法進行溝通聯系，讓學生理解數的計算其實就是計數單位的計算，將小數看成整數相乘后得到的積就是一個新的、統一的計數單位的個數，數的運算的算理是相通的，學生就能將方法遷移到多位小數的乘法上，一脈相承。】

五、鞏固練習，完善算法

1.出示：3.7×4.6= ?0.48×1.5= ?0.56×0.04=

2.預測一下，各算式的積是幾位小數？

3.獨立計算

4.匯報總結

①計算后有什么發現？

②對小數乘法的計算方法有什么補充？

③總結：如果積的小數末尾是0，可以省略;如果積的小數位數不夠，要在前面用0補足，再點小數點。

六、數形結合，拓展延伸

1.出示問題：蘋果每千克2.8元，小明買1.5千克要多少元？小軍買0.8千克要多少元？

2.列式計算

3.比較兩個算式，你有什么發現？

4.結合條形圖幫助理解

5.總結：一個數乘1，積與原數相等;一個數乘一個比1大的數，積會比原數大;一個數乘一個比1小的數，積會比原數小。

6.對比：一個數乘不是1的整數呢？為什么？

七、總結

1.回顧我們學習小數乘小數的計算，你有什么新的收獲？

2.整理總結

①計算方法：多種方法;轉化成整數;0.1×0.1=0.01……

②需要提醒：小數點的位置確定特殊情況。（末尾有0、位數不夠）

③與小數相乘的積與原數相比大小變化情況。