立足結構、關注對比、理解本質

李霞

北師大版小學數學教材將《運算律》這一內容安排在四年級教學。本單元教學目標是在學生掌握基本運算順序的前提下，學習加法、乘法的交換律、結合律，以及乘法分配律這五種基本運算定律，其目的是讓學生能更簡便、更準確地進行計算，同時也為后續進行小數、分數的計算打下基礎。

然而，從平時的教學中我們發現，學生在運用單個知識時“游刃有余”，學習的準確率非常高;但是五個運算律都學習之后，很多學生出現了“東拼西湊”“牛頭不對馬嘴”的現象，所以，對單元知識進行整理與疏通顯得尤為重要。

教學片段一：借助“式圖”，在探討中疏理運算順序

教師出示下面的“式圖”，先讓學生觀察，再說說它的運算順序。

生：先算乘法，再算加法。（課件演示生1方法）

師：假如黑色方框表示“225÷3”呢？

生：先算除法，再算乘法，或者除乘可以一起計算，最后算加法。

師：如果白色方框表示（20+5）呢？

生：有小括號的要先算小括號里面的。

你能把四則運算順序完整地說一說嗎？你覺得下面同學的運算正確嗎？

教學思考：本單元的第一節課內容就是四則運算。該內容學生掌握比較好，所以我們就設計了用“式圖”說運算規則的開放性的題目，目的是帶出計算法則。學生討論積極，參與性特別高。

教學片段二：變化“式圖”，在破與立中復習運算律

（一）復習整理交換律

觀察算式說想法。

1.辨別說理由。

師：你覺得這樣計算正確嗎？為什么？

生1：圖2把白色和灰色的乘積看作一個整體，（課件出示一方框蓋住白色和灰色方框）那么黑色加這一方框就等于這一方框加黑色了。

生2：圖2是運用加法交換律a+b=b+a

師：a、b表示什么？

生1：a、b可以表示兩個數相加，也可以表示是兩個算式之和。

生2：只要將加號的左邊與右邊交換，結果都相等。

師：那圖3你覺得正確嗎？

生1：圖3是交換了兩個乘數的位置，根據乘法交換率a×b=b×a，所以我覺得也是正確的。

生2：我覺得和加法交換律一樣，a、b也可以表示是兩個算式，只要將乘號左邊與右邊交換，結果都不變。

2.兩個數相加或相乘可以交換位置，那么三個、四個呢？說說你對加法交換律或乘法交換律的理解。

教學思考：加法、乘法交換律相對比較簡單，圖2主要是讓學生理解交換位置不只是兩個數交換，也可以將算式中某一部分看作一個整體進行交換，深化了交換的意義;圖3是讓學生明白并不一定整個算式一起運用運算律，算式中的某一部分也是可以運用運算律的。最后通過追問，讓學生明白只要是加號、乘號連接，都可以左右交換這些數（算式）而結果不變。這樣的開放的教學設計，基于學生良好的學習基礎，所以，學生的思考空間大，學習的水平自然就提高。

（二）復習整理結合律

師：這樣計算有可能相等嗎？為什么？同桌交流，舉例說明。

生1：我認為不正確，因為乘法和加法是不能互相代替的。

生2：我認為也有正確的可能，假如當圖4的白色和灰色都表示2，那么這樣計算就是正確的。

生3：圖5中如果黑色和白色表示2，灰色表示1，這樣計算也是正確的。

生4：但是，如果填入其他數字就不行了。

師：同學們表述得非常好，也就是說這樣的算式不確定。那么，你覺得如何改變題目，這樣計算就能保證是正確的呢？

生：將圖4的乘號改成加號，圖5的加號改成乘號。如此，圖4是運用了加法結合律（a+b）+c=a+（b+c），圖5是運用了乘法結合律（a×b）×c=a×（b×c）。這樣就能保證是正確的了。

教學思考：學生通過舉例驗證計算的正確性，是對思維的一種反思與提升，讓學生在互相交流、辨析中表達自己的想法，提高了思維的嚴密性。讓學生打破常規思維，將知識互相轉化與融合，體現了數學知識間的貫通性。讓學生通過改題，則是對運算律特征的深入理解。

（三）復習整理乘法分配律

師：這樣計算又是否正確呢？

由于有了上面的經驗，學生不會馬上表述想法，紛紛開始驗證。

生1：當這三個數都是1的時候，這樣計算是正確的。

生2：當黑色和白色表示2，灰色表示1的時候，也是正確的。

……

生4：無論黑色和白色表示什么數，只要灰色表示1，就是正確的。

（課件出示灰色表示1）

師：這又是為什么呢？

生：因為黑色可以看作乘以1，那么黑色乘以1加白色乘以1，就等于黑色加白色的和乘以1。

師：如果灰色表示2、3、4…任意一個數呢？它們有沒有要等的可能？

（生進入討論階段）

生1：只要黑色中能拆出幾個灰色，就可以這樣計算。如：10+7×5=2×5+7×5。

生2：我同意他的想法，因為這樣一來就可以用乘法分配律表示a×c+b×c=（a+b）×c。

教學思考：如果學生在新課學習中關注習得，那么，在復習課教學中，教師應該給予學生的是對比、辨析與創造。上面的教學中，教師沒有給學生具體的數字，而是給了一個“模式”題，讓學生在不斷舉例中驗證自己的想法，不斷地在行與不行中“奔跑”，這樣的復習不是簡單的梳理，是梳理后的再梳理，是對學習知識的“再造”，是對學習能力的一次新提高，這種由特殊到一般的總結促使學生思維不斷得到提升，為后續學習打下基礎。

教學片段三：式圖互通，分類辨析中再構知識

教師出示六個算式，先讓學生觀察，再給它們分分類。

①50 + 25 × 4 ②（50 + 25） × 4

③4 × （25 + 50） ④4 + 25 + 50

⑤50 × （25 × 4） ⑥（50 × 25） × 4

1.分類的依據是什么？可以如何計算？

（1）理解任何算式都可以運用四則運算進行計算。

（2）根據算式特點選擇合適的運算定律。

2.上面不能用乘法分配律計算的算式，你能不能改變題目，使它們也可以用乘法分配律計算？

3.想一想：算式“50+25×4”不改變題目，能不能運用乘法分配律計算呢？

教學思考：習題設計題組化，可以提高習題的使用效率，要讓學生在解答中觸摸到習題變化的“脈搏”，直觀感受變化帶給學生思維的直接觸動。具體來說，通過讓學生“改”題目進一步理解乘法分配律的特點;同時也避免了以前學生因為數字的欺騙而盲目地湊整去運用運算律;這樣的習題，還打通了算式之間、運算律之間的關系，讓學生知道數學知識是互通的;更為絕妙的是學生對這種創造題目的解答表現出了極大的積極性，思維的水平層次達到了一個新的高度。

總之，本課教學中，我們針對學生的學習現狀，立足梳理、關注對比、理解本質，具體教學中以結構為原點，以知識串通為要件，以開放建構為手段，讓學生在破與立、個別與一般、順向思維與逆向思維中強化了運算律的本質屬性，發揮了學生的思維創造力。