抽象函數(shù)解題策略探研

陳曦陽

重慶市育仁中學(xué) 重慶 400000

前言

說它抽象也不抽象，抽象函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中卻是一大重點學(xué)習(xí)內(nèi)容，其對學(xué)生各方面思維能力都有較高要求，思維的轉(zhuǎn)換和解題變通尤為重要，要熟悉并掌握函數(shù)的基本知識，這是基本能力。本篇文章會根據(jù)在解決抽象函數(shù)所遇到的問題進行解析，著重分析目前高中數(shù)學(xué)中的各種抽象函數(shù)的學(xué)習(xí)技巧，同時研究出解決這些問題的策略。

一、高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)的常見題型及解決策略

正所謂抽象函數(shù)，它不會給出具體一些解析式給你，只是提示你式子有什么函數(shù)特征，難就是難在這里了，下面介紹幾種抽象的具體問題形式和一些解析題型的方法。

1.1 給出一函數(shù)定義域求另一函數(shù)定義域 一般一函數(shù)的定義域為A，求另一函數(shù)定義域，就是已經(jīng)給出了我們所給函數(shù)取值的范圍了，我們就此便可以解出所求。

學(xué)生在學(xué)習(xí)態(tài)度上在很大程度上影響著學(xué)生學(xué)習(xí)知識的效果。因為抽象函數(shù)的學(xué)習(xí)會耗費大量腦力，不能中途懈怠。所以這部分知識的難度也是可想而知。高考數(shù)學(xué)中，抽象函數(shù)題型綜合題一般最后一題中進行考查。當(dāng)然，各地考卷不同，安排題型順序也不一樣。但難度一致，這些都是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中需要重點克服的短板問題。

學(xué)生在實際操練時看到的往往只是題目本身的含義，而沒有深入地考慮問題內(nèi)在的邏輯和普遍規(guī)律。在解決問題時，學(xué)生的最終目的大都是解出最終答案的數(shù)值，而很少有人主動深入探究問題，從多個層次、多角度地分析得出最適方法。

1.2 給出函數(shù)定義域，同時也給出滿足的條件，求賦值函數(shù)的值 這題型的解決關(guān)鍵在于未知與已知之間的聯(lián)系，在腦海中對函數(shù)進行另一種賦值，便能知道未知已知之間的關(guān)系。考量了個人的抽象思維，所以解這樣的題目就要自己去多次賦值以達解決目的，很多學(xué)校對高中數(shù)學(xué)的抽象函數(shù)這一部分的內(nèi)容有著很大重視，因為該部分將函數(shù)與實際數(shù)模結(jié)合得很緊密。通常作為壓軸放在最后一大題，但不代表學(xué)生要放棄這一題。

學(xué)生在高考中普遍存在放棄最后一題的現(xiàn)象，在此給出提議，抽象函數(shù)不是那么可怕，技巧性非常強，不能光看題目就覺得這很難，一定得抽出時間來完成這一種題型，平時也要養(yǎng)成這種習(xí)慣進行“題海式”實際操練。此外，部分學(xué)校在教抽象函數(shù)的方法上，常常會忽略學(xué)生課后思考和探究的重要作用，不能做到與學(xué)生進行知識掌握程度的溝通，忽略了學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng)和提升，這樣就不能更好得提高學(xué)生想象能力了。

1.3 給出條件，求出函數(shù)它的解析式 這是常見題型之一，看清楚變量之間有什么關(guān)系，有多少個變量，盡量通過轉(zhuǎn)化使變量減少，最后保留一個變量。通常也是要為函數(shù)賦予它值達到變量“變沒”。高中的數(shù)學(xué)講的就是人思維邏輯變通，靠著邏輯演繹推進和發(fā)展。這種抽象函數(shù)題型好比一個洋蔥，要不斷撥開外面的皮才看得到它在內(nèi)的本質(zhì)，最后還是要多練這種題目然后總結(jié)技巧。

1.4 利用函數(shù)對稱性求賦值函數(shù)的值 遇到這種題目，可以觀察到它要代入的量很大，很多多同學(xué)便感到棘手。在解決問題之前要掌握各類函數(shù)對稱的性質(zhì)。下面給出一題，幫助大家更好的了解：

例8.已知函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)+f(-x)＝2002，求f-1(x)+f-1(2002-x)的值。

解：已知式即在對稱關(guān)系式f(a+x)+f(a-x)＝2b中取a＝0，b＝2002，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(0，2002)對稱。根據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系，知函數(shù)y＝f-1(x)的圖象關(guān)于點(2002，0)對稱。

所以f-1(x+1001)+f-1(1001-x)＝0

將上式中的x用x-1001代換，得f-1(x)+f-1(2002-x)＝0

關(guān)于點或者中心對稱的問題不少見，關(guān)鍵還是要清楚函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合賦值迭代求出最終結(jié)果。

5 綜合性抽象函數(shù)

此題型的抽象函數(shù)在以上題型加大了難度，需結(jié)合各個性質(zhì)并貫通它們。

例9.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對任意實數(shù)m，n，總有f(m+n)＝f(m)·f(n)，

且當(dāng)x＞0時，0＜f(x)＜1。

(1)判斷f(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)A＝{(x，y)|f(x2)·f(y2)＞f(1)}，

解：(1)在f(m+n)＝f(m)·f(n)中，令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(0)，因為f(1)≠0，所以f(0)＝1。

在f(m+m)＝f(m)·f(n)中，令m＝x，n＝-x

因為當(dāng)x＞0時，0＜f(x)＜1

所當(dāng)x＜0時-x＞0，0＜f(-x)＜1

而f(x)·f(-x)＝f(0)＝1

又當(dāng)x＝0吋，f(0)＝1＞0，所以，綜上可知，對于任意x∈R，均有f(x)＞0。

設(shè)-∞＜x1＜x2＜+∞，則x2-x1＞0，0＜f(x2-x1)＜1

所以f(x2)＝f[x1+(x2-x1)]＝f(x)·f(x2-x1)＜f(x1)

所以y＝f(x)在R上為減函數(shù)。

(2)由于函數(shù)y＝f(x)在R上為減函數(shù)，所以f(x2)·f(y2)＝f(x2+y2)＞f(1)

即有x2+y2＜1

這一題涉及到單調(diào)性那就一定要考慮兩個問題，第一f＜0＞的取值問題，二是f(x)＞0的結(jié)論。綜合題就是會考量多個方面的運用，從特殊到一般，遵循這個原則就能循序漸進了。

二、抽象函數(shù)填空題應(yīng)試技巧

如果臨近高考，大家都應(yīng)該認(rèn)識到，就數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)能力而言，經(jīng)過一年的復(fù)習(xí)，到了這個時候，大家的能力基本已經(jīng)定型了，已經(jīng)是定在了那個級別，那么基本上臨近高考的這些天這個級別不會產(chǎn)生太大的變化。因此，我們的復(fù)習(xí)的關(guān)鍵是要把你這一年來復(fù)習(xí)工作的收獲盡量地歸納總結(jié)，然后總結(jié)出屬于自己的應(yīng)試技巧，這個技巧也會決定你的考場應(yīng)付能力，所以也應(yīng)著重培養(yǎng)一下。以下有幾個填空題的應(yīng)試技巧：

2.1 直接法 直接法也可理解成直接代入法，結(jié)合它的函數(shù)性質(zhì)，定理等所有知識進行代入，直接出結(jié)果。

2.2 特殊化法 當(dāng)填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的不定量用特殊值代替，即可以得到正確結(jié)果。

2.3 數(shù)形結(jié)合法 對于一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，以形助數(shù)，則往往可以簡捷地解決問題，得出正確的結(jié)果。

2.4 等價轉(zhuǎn)化法 將問題等價地轉(zhuǎn)化成便于解決的問題，從而得出正確的結(jié)果。解決恒成立問題通常可以利用分離變量轉(zhuǎn)化為最值的方法求解。

解答這些題型的時候，先做有依據(jù)去解決的題，該拿的分一定要拿到。應(yīng)試技巧要在各種模擬考試中去自己摸索出來，如果程度較好的同學(xué)可以兩天做一次選擇和填空題的訓(xùn)練，這個就是所謂經(jīng)常熱身。另外在熱身中，尋求解題的成功率和提高解題速度。

另外通過圖象，學(xué)生也可以在腦海中更加直觀地建立問題模型，更加清晰又充分地解讀題意。運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決函數(shù)問題、能夠大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率以及學(xué)生的理解效率。圖象的運用既能夠?qū)⒊橄髥栴}變得直觀化、形象化，也能夠幫助學(xué)生更加容易地理解題意。

三、總結(jié)

高中數(shù)學(xué)教學(xué)要求教師準(zhǔn)確把握各章節(jié)知識點的重點和難點，在抽象函數(shù)知識的講解中，不可過偏地抓重點和難點，而是要在把據(jù)基礎(chǔ)知識的前提下，做一些拓展知識的介紹。考慮到抽象函數(shù)部分的內(nèi)容難度較大，教師在講解過程中應(yīng)當(dāng)把據(jù)好沒一個章節(jié)的節(jié)奏，給予學(xué)生適當(dāng)?shù)墓膭睿寣W(xué)生能夠充滿自信的去學(xué)習(xí)和解題。