淺談“對(duì)等”概念的產(chǎn)生發(fā)展在實(shí)變函數(shù)教學(xué)中的作用

楊志濤 林浦任

【摘要】本文介紹了“對(duì)等”概念產(chǎn)生的歷史過程，然后結(jié)合作者從事實(shí)變函數(shù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，闡述了把數(shù)學(xué)史融入實(shí)變函數(shù)教學(xué)中的重要作用。

【關(guān)鍵詞】對(duì)等 數(shù)學(xué)史 實(shí)變函數(shù)

【基金項(xiàng)目】關(guān)于數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式的研究，欽州學(xué)院教改項(xiàng)目（2016QYJGA22）；服務(wù)于應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式的應(yīng)用統(tǒng)計(jì)軟件教學(xué)改革與實(shí)踐，欽州學(xué)院教改項(xiàng)目（2015QYJGB13）；基于曙光“數(shù)據(jù)中國(guó)”平臺(tái)校企協(xié)同育人的研究與實(shí)踐，2017年廣西高等教育教學(xué)改革工程項(xiàng)目（2017JGZ157）。

【中圖分類號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2019）25-0154-02

19世紀(jì)末，法國(guó)數(shù)學(xué)家勒貝格創(chuàng)立實(shí)變函數(shù)理論，它是普通微積分學(xué)的繼續(xù)，其目的是想克服牛頓和萊布尼茨所建立的微積分學(xué)存在的缺點(diǎn)。該門課程有助于大學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)分析知識(shí)的理解、深化對(duì)近代分析學(xué)的認(rèn)識(shí)。同時(shí)，實(shí)變函數(shù)也被列為數(shù)學(xué)系最難的專業(yè)課，很多數(shù)學(xué)系學(xué)生覺得實(shí)變函數(shù)理論太抽象，難以理解勒貝格積分的建立過程，這使得我們?cè)诮淌谶@門課程中面臨很多困難。對(duì)于如何讓學(xué)生深入地理解實(shí)變函數(shù)的精髓所在，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)的興趣，許多高校數(shù)學(xué)教師也都嘗試以各種方式來改善實(shí)變函數(shù)的教學(xué)，在文獻(xiàn)[1]、[2]、[3]中作者就實(shí)變函數(shù)發(fā)展史在教學(xué)中的應(yīng)用做了有益的探索。受到文獻(xiàn)[1-9]的啟發(fā)，在本文中，我們從實(shí)變函數(shù)課程中一個(gè)基本概念“對(duì)等”出發(fā)，詳細(xì)闡述這個(gè)概念的產(chǎn)生、發(fā)展及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，以期達(dá)到優(yōu)化課堂教學(xué)效果的目的。

一、“對(duì)等”概念的產(chǎn)生

“對(duì)等”是實(shí)變函數(shù)中一個(gè)簡(jiǎn)單的概念，我們定義對(duì)于兩個(gè)非空集合A和B，若存在雙射f：A→B，那么集合A和B對(duì)等。這個(gè)概念產(chǎn)生的直接動(dòng)機(jī)就是計(jì)算集合里面元素的個(gè)數(shù)，在人類社會(huì)的最初階段，原始人為了計(jì)算捕獲到獵物的多少，就使用結(jié)繩、刻痕的方法計(jì)數(shù)，早期的羅馬人利用手指計(jì)數(shù)。這些生動(dòng)的例子已是數(shù)碼的雛形，它標(biāo)志著“數(shù)”已從各種具體的事物中抽象了出來，并把具體的事物跟這些數(shù)碼做了一個(gè)簡(jiǎn)單的“對(duì)等”。這應(yīng)該是人類對(duì)“對(duì)等”這個(gè)概念最早期的認(rèn)識(shí)，但這些最樸素的認(rèn)識(shí)是人類對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的一大進(jìn)步。現(xiàn)在我們?cè)侔焉厦胬映橄笠幌?，不管是結(jié)繩計(jì)數(shù)，還是用手指計(jì)數(shù)，這里涉及到一個(gè)非空有限集合的問題，而非空有限集合的特征就是具有一個(gè)標(biāo)志其元素個(gè)數(shù)的正整數(shù)，而確定非空有限集合中元素個(gè)數(shù)的方法就是把集合中的元素一個(gè)一個(gè)的數(shù)出來。這樣有限集合就和正整數(shù)列的某一截段一一對(duì)應(yīng)起來，最后對(duì)應(yīng)的正整數(shù)就是有限集合所含元素的個(gè)數(shù)。

二、“對(duì)等”用來計(jì)數(shù)無窮大的數(shù)字

上面我們談了有限個(gè)事物和數(shù)碼對(duì)等的問題，但是“對(duì)等”真正的作用是用來處理無窮大的數(shù)字的計(jì)數(shù)問題。其實(shí)早在16世紀(jì)，意大利科學(xué)家伽利略就曾研究過無窮大的數(shù)字的計(jì)數(shù)問題，當(dāng)時(shí)他在比較正整數(shù)集合{1，2，3…}和正整數(shù)的平方數(shù)集合{1，4，9…}大小問題，正整數(shù)的平方還是正整數(shù)，所以正整數(shù)集合顯然包含正整數(shù)的平方數(shù)集合，但是每個(gè)正整數(shù)平方之后都唯一地對(duì)應(yīng)了一個(gè)平方數(shù)，這樣正整數(shù)的平方數(shù)集合又包含正整數(shù)集合，所以最后的結(jié)果理應(yīng)是兩個(gè)集合所含元素的個(gè)數(shù)是相等的。但是這個(gè)結(jié)果與當(dāng)時(shí)人們的認(rèn)識(shí)產(chǎn)生了矛盾，整體和局部怎么能一樣大呢？伽利略也困惑這個(gè)問題，最后得出無限集合是無法比較大小的。我們現(xiàn)在暫且不論當(dāng)時(shí)伽利略得出結(jié)論的對(duì)錯(cuò)，他在解決這個(gè)問題的過程中已經(jīng)無意識(shí)的用到“對(duì)等”這個(gè)概念，而從另一方面我們也看出，無限集合迥異于有限集合，我們不能用看待有限集合的眼光來看待無限集合。

20世紀(jì)初，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家希爾伯特通過一個(gè)實(shí)際生活中的例子來研究無限集合：我們?cè)O(shè)想有一家旅館，內(nèi)設(shè)無限個(gè)房間，所有的房間也都客滿了。這時(shí)來了無窮多位要求訂房間的客人?！昂玫?，先生們，請(qǐng)等一會(huì)兒?！甭灭^主人說。于是他把1號(hào)房間的旅客移到2號(hào)房間，2號(hào)房間的旅客移到4號(hào)房間，3號(hào)房間的旅客移到6號(hào)房間，如此等等，這樣繼續(xù)下去?，F(xiàn)在，所有的單號(hào)房間都騰出來了，新來的無窮多位客人可以住進(jìn)去，問題解決了！當(dāng)我們認(rèn)真研讀這個(gè)故事，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，我們可以把全部房間所構(gòu)成的集合和偶數(shù)號(hào)房間所構(gòu)成的集合恰好做一個(gè)“對(duì)等”：

在這個(gè)表中，每一個(gè)自然數(shù)都和一個(gè)正偶數(shù)相對(duì)應(yīng)，但這和你的直覺不太一致，直覺告訴你自然數(shù)是包含所有正偶數(shù)的，自然數(shù)的數(shù)目應(yīng)該比正偶數(shù)的數(shù)目要多才對(duì)啊？但上述的這個(gè)表告訴了你直覺并不可靠，按照上述表中比較無窮大數(shù)的規(guī)則，自然數(shù)和正偶數(shù)的數(shù)目是相同的。這個(gè)結(jié)論看起來有些不可思議，但是不要忘記我們是和無窮大數(shù)打交道，在無窮大的世界里，部分可能等于全部！

德國(guó)另一位偉大的數(shù)學(xué)家喬治·康托認(rèn)為無窮集合是可以和無窮集合的子集“對(duì)等”，而且可以利用“對(duì)等”來研究無窮集合的大小，并由此創(chuàng)立了集合論，徹底解決無限集合計(jì)數(shù)問題，為實(shí)變函數(shù)理論的建立打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)?？低袙仐壛艘磺薪?jīng)驗(yàn)和直觀，用徹底的理性來論證，揭示了無窮集合之間的大小差異。

三、“對(duì)等”概念在實(shí)變函數(shù)課程中應(yīng)用實(shí)例

康托集合論里面的一個(gè)重要定理就是證明了“實(shí)數(shù)集是不可數(shù)集合”，下面我們分析下康托如何利用“對(duì)等”概念解決這個(gè)問題的。

實(shí)數(shù)集R通過函數(shù)y=tan（πx-）和（0，1）“對(duì)等”，利用“對(duì)等”的傳遞性質(zhì)，我們只需證明（0，1）是不可數(shù)集合，下面利用反證法，假設(shè)（0，1）是可數(shù)集合，即（0，1）和自然數(shù)N“對(duì)等”，

a（1）=0.a1（1）a2（1）a3（1）… a（2）=0.a1（2）a2（2）a3（2）… a（3）=0.a1（3）a2（3）a3（3）…

其中（0，1）之間小數(shù)都是正規(guī)表示。

下面康托構(gòu)造了一個(gè)位于（0，1）之間小數(shù)a=0.a1a2a3…，其中a1是不同于a（1）中的第一個(gè)數(shù)字，a2是不同于a（2）中的第二個(gè)數(shù)字，以此類推，康托所構(gòu)造的a是一個(gè)新的位于（0，1）之間小數(shù)，并且不同于上述表中a（i），i=1，2…，這樣就得到一個(gè)矛盾，沒有自然數(shù)與a對(duì)應(yīng)，證明結(jié)束。

從證明過程可以看出，康托利用“對(duì)等”的方法來解決上面問題。但是把“對(duì)等”的方法引入到集合理論來，產(chǎn)生了很多悖論，這就遭到那些堅(jiān)持傳統(tǒng)觀念人士的強(qiáng)烈反對(duì)，但正是這些悖論的產(chǎn)生，直接推動(dòng)了集合論的發(fā)展，從而為勒貝格積分的產(chǎn)生發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。而且從勒貝格積分的產(chǎn)生過程也可以看出，正是當(dāng)時(shí)出現(xiàn)了一些黎曼積分處理不了的問題，才推動(dòng)科學(xué)家們不斷地探索新的方法，以突破現(xiàn)有的知識(shí)體系，獲得一些新的理論去處理問題，但是這個(gè)過程充滿了曲折。

四、結(jié)束語

我們?cè)谥v授集合論時(shí)，如果能夠把上述有限集合和無限集合計(jì)數(shù)問題的產(chǎn)生發(fā)展講給學(xué)生聽的話，無疑能增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)興趣，把學(xué)生從枯燥的理論學(xué)習(xí)中解脫出來。同時(shí)還可以讓同學(xué)們感受到數(shù)學(xué)哲學(xué)的魅力，理解科學(xué)發(fā)展的一般規(guī)律，領(lǐng)會(huì)當(dāng)時(shí)人們解決問題的思想方法和思路，感受科學(xué)家在建立一門科學(xué)時(shí)所付出的努力甚至犧牲。隨著高等教育的大眾化以及一些高校轉(zhuǎn)型應(yīng)用型大學(xué)，我們希望通過在實(shí)變函數(shù)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的體會(huì)和理解，讓數(shù)學(xué)的思維方法、推理方法和看問題的著眼點(diǎn)深深銘刻在其心中，以期對(duì)他們以后的生活工作起到一些幫助。

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