直線的一般式方程的歸納與應用

王念念

[摘? ?要] 直線的一般式方程是求解直線問題的核心知識點，明確其幾何意義及其性質，掌握其與特殊直線方程之間的互化，是解決直線方程問題的關鍵.

[關鍵詞]直線方程;一般式方程;歸納;應用

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）17-0032-02

在平面直角坐標系中，任何一個關于x、y的二元一次方程都表示一條直線.我們把關于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A，B不同時為0）叫作直線的一般式方程，簡稱為“一般式”.

一、直線的一般式方程的歸納

1.直線的一般式方程的幾何意義

（1）當B≠0時，[-AB=k]（斜率），[-CB=b]（y軸上的截距）;

（2）當A≠0時，[-CA=a]（x軸上的截距）;

（3）在一般式方程Ax+By+C=0中，①若A≠0，B=0，則[x=-CA]，它表示一條與y軸平行或重合的直線;②若A=0，B≠0，則[y=-CB]，它表示一條與x軸平行或重合的直線;③若A=B=0，則有C=0，不表示任何直線.

2.直線方程的一般式、斜截式與截距式的互化

[一般式 斜截式 截距式 Ax+By+C=0（A，B不同時為0） [y=-ABx-CB]（B≠0） [xCA+yCB=1]（A、B、C≠0） ]

3.兩個重要結論

結論1：在平面直角坐標系中任何一條直線都可以用關于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0（A，B不同時為0）來表示.

結論2：任何關于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0（A，B不同時為0）都可以表示平面直角坐標系中的一條直線.

解題時，若無特殊說明，則應把求得的直線方程化為一般式.

4.直線的性質

當直線方程Ax+By+C=0的系數A、B、C滿足如下關系時，這條直線有以下性質.

（1）當A≠0，B≠0時，直線與兩坐標軸都相交;

（2）當A≠0，B=0，C≠0時，直線只與x軸相交，即直線與y軸平行，與x軸垂直;

（3）當A=0，B≠0，C≠0時，直線只與y軸相交，即直線與x軸平行，與y軸垂直;

（4）當A=0，B≠0，C=0時，直線與x軸重合;

（5）當A≠0，B=0，C=0時，直線與y軸重合.

二、直線的一般式方程的應用

1.直線方程的互化

[例1]設直線l的方程為[（a+1）x+y+2-a=0（a∈R）] .

（1）若直線l在兩坐標軸的截距相等，求直線l的方程;

（2）若直線l不經過第二象限，求實數a的取值范圍.

解析：（1）當a=-1時，顯然不滿足題意，故a≠-1.

將直線化為截距式后，可得直線l在x軸上的截距是[a-2a+1]，在y軸上的截距是a-2，∴[a-2a+1=a-2]，解得a=2或a=0，∴直線l的方程為[3x+y=0]或[x+y+2=0].

（2）直線l可化為[y=-（a+1）x+a-2]，

由已知得[-（a+1）>0，a-2≤0，]或[-（a-1）=0，a-2≤0，]

∴[a≤-1].

點評：根據解題要求，有時要靈活地將直線的一般式方程轉化為斜截式、截距式等特殊方程，并注意特殊情況.直線方程作為結論要化為一般式，其化法是對方程移項、化簡，并整理為二元一次方程Ax+By+C=0的形式.

2.直線的一般式方程中系數的幾何意義的應用

[例2]設直線l的方程為[（m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6]，根據下列條件分別確定m的值.

（1）直線l在x軸上的截距是-3;

（2）直線l的斜率是-1.

解析：（1）由題意，得[m2-2m-3≠0，①2m-6m2-2m-3=-3，②]

由①得m≠-1，且m≠-3;

由②得m=3或[m=-53]，所以[m=-53 ].

（2）由題意，得[2m2+m-1≠0，③m2-2m-32m2+m-1=-1，④]

由③得m≠-1，且[m≠12];

由④得m=-1或m=-2，所以m=-2.

點評：關于直線的一般式方程中系數的幾何意義是直線方程問題的重點，解題時首先要確定使問題成立的各系數的正確條件，如A≠0、B≠0、A=0、B=0等關系，然后根據題目已知條件列式求解.

3.求直線的一般式方程

[例3]已知直線l的方程為[3x+4y-12=0]，求直線l[′]的方程，使l[′]滿足：

（1）過點（-1，3），且與l平行;

（2）過點（-1，3），且與l垂直;

（3）l[′]與l垂直，且l[′]與兩坐標軸圍成的三角形面積為4.

解析：（1）由l[′]與l平行，可設直線l[′]的方程為[3x+4y+m=0]（m≠-12），將點（-1，3）代入得m =-9.得所求直線方程為[3x+4y-9=0].

（2）由l[′]與l垂直，可設直線l[′]的方程為[3x+4y+n=0]，將點（-1，3）代入得n =13.得所求直線方程為[3x+4y+13=0].

（3）由l[′]與l垂直，可設直線l[′]的方程為[3x+4y+p=0]，則直線l[′]在x軸上的截距為[-p4]，在y軸上的截距為[p3]，由題意可知，圍成的三角形面積[S=12p3?-p4=4]，解得[p=±46]，∴l[′]的方程為[3x+4y+46=0]或[3x+4y-46=0].

點評：利用平行與垂直巧設直線的一般式方程是解決此類問題的常用方法.即與直線Ax+By+C=0平行的直線方程可設為Ax+By+C1=0（C≠C1），再由其他條件列方程求C1;與直線Ax+By+C=0垂直的直線方程可設為Bx+Ay+C2=0，再由其他條件列方程求C2 .

4.兩直線的垂直與平行

[例4]已知直線l1：[ax-by+4=0]和直線l2：

[（a-1）x+y+2=0]，分別求滿足下列條件的a、b值.

（1）直線l1過點（-3，-1），并且直線l1和直線l2垂直;

（2）直線l1和l2平行，且直線l1在y軸上的截距為-3.

解析：（1）由已知得[a（a-1）-b=0，（-3）a-（-1）b+4=0，]

解得a=2，b=2.

（2）由已知得[a+b（a-1）=0，4b=-3，]

解得a=4，[b=-43].

點評：關于兩直線垂直的解法可歸納為：（1）斜率存在時，兩直線垂直的條件為[k1?k2=-1];（2）一般式方程下，兩直線垂直的條件為[A1?A2+B1?B2=0];（3）在斜截式方程中，在能判斷斜率存在的情況下，用條件（1）;在一般式方程，特別是含有字母系數且斜率可能不存在的情況下，用條件（2）.關于兩直線平行的解法可歸納為①[l1：y=k1x+b1]，[l2：y=k2x+b2]，[l1∥l2?k1=k2]，且b1≠b2;②[l1：? A1x+B1y+C2=0]，[l2：? ? A2x+B2y+C2=0]，[l1∥l2?A1B1-A2B2=0]，且[A1?C2-A2C1≠0]（或[B1?C2-B2C1≠0]）.

（責任編輯? ?黃桂堅）