著眼“意義”，指向“生長”，發展“思維”
——“正比例的意義”磨課實踐與思考

江蘇省常熟市塔前小學 戴美蘭

數學概念是客觀現實中的數量關系和空間形式的本質屬性在人腦中的反映。概念教學要注重引導學生通過對具體事物的感知，通過觀察比較、抽象概括，逐步提煉出事物的本質屬性。核心素養導向下，如何引導學生經歷概念的形成過程，實現意義的自然生長，促進思維的發展？下面結合《正比例的意義》幾次的磨課實踐，談談我的思考。

一、不同的導入對比——指向知識的生長

奧蘇泊爾說過：影響學習的唯一重要因素就是學習者已經知道了什么，要探明這一點，并據此進行教學。學生學習數學有著內在的認知規律和心理特征，教學時要找準學生已有的認知起點，使它成為新知的生長點。

方法一：

1.觀看視頻：風吹草動；水漲船高。

2.疊數學書。

（1）教師疊書（增加和減少）,學生觀察。

師：仔細看，老師把你們的數學書疊起來，你們發現了什么相互聯系的現象嗎？

（2）揭示“相關聯的量”。

3.舉例。

師：生活中相關聯的量很多,你能舉例說明嗎?

4.找找辨辨。

課件出示：任選兩張表格，仔細觀察，看看表中的兩種量是否相關聯？

交流指出：表六的兩種量不相關聯，其他表中都有兩種相關聯的量。

5.引導：那這兩種相關聯的量又有著怎樣的變化規律?在變化中是否有什么不變?我們以表一為例來進一步研究。

方法二：

1.復習基本數量關系。

師：同學們回憶一下，在學習運算律時，我們已經感受了一些數量關系，在解決問題時又熟悉了這些關系，說說我們已經認識了哪些數量關系？

指出：看來，今天的學習和（數量關系）有關。

2.情境導入，激發興趣。

師：同學們，瞧（手里拿著書簽），老師給大家帶來了一些小禮物——小書簽。一張書簽3 元，猜猜看老師買了幾張書簽？花了多少錢？如果我花了60 元，買了幾張書簽？如果花了90 元呢？

3.聯系實際，初步感知。

師：是呀，我購買了同一種書簽，這是老師剛剛收集的一些數據。課件出示：購買一種書簽的數量和總價如下表：

數量/張 1 2 3 4 5 ……總價/元 3 6 9 12 15 ……

……

兩次教學實踐都能聯系實際，創設情境，激發學生的學習興趣，引發學生的積極思考。方法一通過學生熟悉的生活現象和疊數學書的活動，使其對相關聯的量有了比較充分的感知，再引入對路程和時間兩種相關聯量變化規律的研究，這樣的教學看似順理成章，尋求經驗與數學的融合，但由于受到生活經驗的影響，方法一的引入花費了大量的時間，卻沒有直指正比例意義的本質，研究數量關系的變化規律。雖然理解相關聯的量是本課的一個教學重點，但單獨研究、割裂教學效果反而不好。實際上，結合正比例意義的建構過程，學生反而更容易理解“相關聯量”的意義。

基于上面的思考，方法二找準了知識的生長點，根據學生的已有認知經驗，建立前后知識的聯系。首先直面數量關系，創設送書簽的情境，引導學生在猜一猜的過程中，對書簽數量和總價的數量關系有了比較深入的感知和體驗，而不斷生成的數據則巧妙提供了所要研究的素材，構成了購買一種書簽的數量和總價的表格，學生邊猜邊思,為后面研究活動的展開做好了準備。

二、不同的探究對比——指向數量關系的生長

我們知道，正比例的意義是要從一種運動和變化的觀點去理解數量間的關系,要通過觀察、分析兩種數量之間的變化情況、變化規律,進而達到對兩個變量關系的進一步理解。

方法一：

1.課件出示表1（見導入設計）和研究要求：

①仔細觀察，時間和路程這兩種相關聯的量是怎樣變化的？

②它們的變化是否有一定的規律？如果有規律，它們是怎么樣的？

③你能在研究單上寫一寫，把你發現的規律簡單地表示出來嗎？

2.學生操作后交流。

3.回顧例1 的學習過程，我們是怎么發現路程和時間的變化規律的。

4.分組研究：運用剛才的研究方法研究表2、表3、表4、表5的變化規律，以小組為單位，任選一張表格，看看表中的兩種量有著怎樣的變化規律？

……

5.追問：通過剛才的研究，我們發現表中兩個相關聯的量都在發生變化，但是變化的規律都是不一樣的，那有沒有變化規律一樣的呢？

回顧我們剛剛研究過的六張表格，有什么發現嗎？

6.揭示正比例的意義。

方法二：

1.課件出示：購買一種書簽的數量和總價如下表（見導入設計）。

（1）師：觀察表中數據，你有什么發現？

引導：看看總價和數量有沒有變化？是怎么變化的？

（2）小組討論，全班交流。

學生通過觀察和計算，對總價和數量的關系有了兩個發現（略）。

2.指出：總價和數量的這種關系在圖中也可以反映出來。課件動態演示：

追問：圖中什么在變化？什么也在變化？

師：觀察每個點的位置，有什么發現嗎？（演示：描點、連線）

師：想象一下，如果數量繼續增加，總價呢？

師：那么這條藍色直線會……（繼續延長）

小結。

3.回顧反思：我們是怎么發現總價和數量的變化規律的？

4.談話過渡：一輛轎車在公路上行駛，行駛時間和路程如下表。（課件出示表1，見導入設計）

師：運用剛才的研究方法找一找路程和時間這兩個量的關系，把你的發現在研究單上簡單記錄下來。

5.對比求同。

師：我們再來觀察比較這兩個例子，這兩題中，數量之間的聯系有什么相同的特點？

6.揭示正比例的意義。

迪恩斯認為，在數學教學中，學生應該依靠自己的經驗。因此，教學要基于學生已有的知識和經驗，引導學生主動體驗和探究知識的形成過程，溝通知識之間的內在聯系。

方法一由于導入時運用了比較多的反例，對學生正向建立相關聯量的概念造成了干擾。學生探究路程和時間的變化規律不是自己真實的需求，尤其是對路程、時間數量關系的研究更是一種被動的接受。正因為正比例關系是兩個相關聯數量之間的一種特定關系，所以方法二重在引導學生經歷數量關系的自然生長過程。學生借助已有的知識經驗及對已學數量關系的積累和理解，在猜書簽數量和總價的過程中催生對數量關系的熱情，引導學生經歷創造數據、觀察、比較、分析、歸納的過程，再由表及圖，動態呈現折線統計圖，數形結合，靜態到動態，從具體形象的數據分析，初步感知一個量變化引起另一個量的變化，再到聚焦數量關系，深入體會總價、數量、單價及路程、時間、速度三個量之間變與不變的關系，多樣的體驗促進了深度的理解。學生的思考外顯，數量關系的自然生長，充分展示了概念的形成過程，觸摸了認識概念的基本方法，同時也鍛煉了探究學習的能力。

三、不同的抽象對比——指向關鍵能力的生長

數學抽象是數學活動中一種最基本、最重要的思想方法。只有基于學生的現實經驗，才能更有效地引導學生進行數學抽象，從而真正理解抽象的數學知識，促進關鍵能力的自然生長。

方法一：

思考：如果用字母x 和 y 分別表示兩種相關聯的量，用k 表示它們的比值，正比例關系可以用怎樣的式子來表示？板書：=k（一定）。

方法二：

1.舉例：從疊書的活動中我們找到了這么多的正比例關系，你還能舉例說說生活中成正比例關系的量嗎？

2.抽象概括，建立模型。

（1）師：這樣的正比例關系生活中還有很多很多，說得完嗎？

你能用簡單的方法表示出來嗎？你是怎么想的？

生1：（文字的）比的前項÷比的后項=比值（一定），比的前項和后項成正比例關系。

生2：（字母的） a÷b=c（一定），a 和b 成正比例關系。

生3：（符號的） □÷○=△（一定），□和○成正比例關系。

師：其實，用字母表示，用文字表示，用符號表示，你們表達的意思都是一樣的，在數學上，我們一般用字母表示。

（2）師：如果用字母x 和 y 分別表示兩種相關聯的量，用k 表示它們的比值，正比例關系可以用怎樣的式子來表示？板書：（一定）。

師：你能說說它表示什么意思嗎？

小結：用字母式來表示正比例關系，多么簡單，數學就是有一種簡潔美。

方法一中，學生通過對路程和時間、總價和數量的數量關系的研究，在順利揭示正比例的意義后，直接進行抽象：正比例關系可以用怎樣的式子來表示？學生的思路比較狹窄，他們只想到用字母來表示正比例關系，這樣的抽象略顯單薄。方法二則結合具體實例，學生在具體的活動中經歷了由淺入深、由表及里的研究過程，用圖表和語言來表征正比例關系后，學生對正比例的意義積累了大量的感性認識和經驗，用符號抽象概括正比例的意義也就水到渠成了。學生的符號表征是多樣的，是從心里自然生長出來的，用字母表達式來表征正比例關系，順利建構數學模型。學生在把感性經驗上升為理性認識的過程中，初步感悟到數學抽象的過程和方法，發展了數學思考，體驗了符號化的思想，提升了數學抽象與建模的能力。由具象到抽象，深度理解正比例的意義，實現了用圖表、語言、符號表征概念學習的綜合化。

四、不同的練習對比——指向思維和素養的生長

數學練習是學生學習過程中的重要環節，精心設計多元有效的數學練習，及時點撥思路，引領有效探究，能促進學生思維的自然生長。練習設計要盡可能地將學生的認知水平與生活實際相聯系，讓學生多元思考、多種體驗、多種思路，真正提升練習的有效性，發展學生的數學素養。

方法一：

倒水實驗：往同一個圓柱形杯子中倒水，水的體積和高度成正比例嗎？為什么？

師：同學們，當水的體積和高度成正比例關系時，把上面的表格制成折線統計圖，通過描點、連線，發現正好是一條直線，這就是我們下節課要研究的正比例圖像。（制成的折線統計圖略）

方法二：

倒水實驗：往同一個圓柱形杯子中倒水，水的體積和高度成正比例嗎？為什么？

生1：體積和高度是兩個相關聯的量，因為是同一個圓柱形杯子，底面積是一樣的，體積÷高度=底面積（一定），所以水的體積和高度成正比例關系。

評價：不錯，你根據關鍵詞“同一個圓柱形杯子”，沒有通過計算就找到了不變的量，真會思考。

生2：從圖上就可以看出來，因為是一條直線。

師：既然你是從圖上看出來的，那么你能想辦法進一步驗證嗎？

生：可以通過計算來驗證。

師生共同計算，發現體積和高度的比值都是25，也就是底面積是一定的，水的體積和高度成正比例關系。

評價：你真厲害，從圖上找到數據，再用數據來計算說明問題，透過圖看到了本質。

方法一中，教師通過引導學生對表中數據的觀察與計算，發現水的體積和高度的比值也就是底面積是一定的，鞏固了學生對正比例意義的理解，同時指出表與圖是有聯系的，是下一節課要學習的內容。但是老師沒有做進一步的拓展，引發學生的深度思考，促進對知識的進一步辨識和理解。方法二則借助表和圖的整合，通過一系列的追問，實現學生與文本的對話，驅動學生的思考。判斷兩種量是否成正比例可以由表及圖，結合具體的圖像，采用不同的方法，從圖上找到數據，再用數據來計算說明問題，從而驗證自己的判斷和想法。透過圖看到正比例意義的本質，數學思考越發深入。這樣的研究，學生對正比例意義的理解更具有一般性，學生借助反饋信息檢驗自己的已有認識，在對比思辨中凸顯概念的本質。學生的數學意識、數學理解、數學交流、解決問題能力也得到了有效的發展，數學素養也在不知不覺間生根發芽。

在多次的磨課實踐中，我一直在思考：正比例的意義比較抽象，學生難以理解，對于這樣的知識要怎么教，學生要怎么學呢？基于學生的知識層次、數量關系、關鍵能力、思維和素養的生長，在不斷的改進對比實踐中實現正比例意義在課堂中的自然生長，從而促進概念的意義建構。