一節(jié)函數(shù)最值課教學(xué)賞析

鄭敏　董濤　鄭曉穎

函數(shù)最值課怎么教？這是青年教師非常關(guān)注的問題.筆者近期聽了一節(jié)印象深刻的高中函數(shù)最值課.該課條理清晰、邏輯清楚、層次遞進(jìn)、流暢自然，體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)教學(xué)的典型特征.以下筆者將評(píng)析這節(jié)課的關(guān)鍵教學(xué)設(shè)計(jì).并以該課為例，進(jìn)一步探討高中數(shù)學(xué)課的典型特征.

下面走進(jìn)汪老師的課堂：

1 教學(xué)目標(biāo)預(yù)設(shè)下的自學(xué)

請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本，并解決以下問題：

①什么是函數(shù)的最大值、最小值？

②最大（?。┲档膸缀我饬x是什么？

③畫出幾個(gè)基本初等函數(shù)的圖象，討論它們的最值.

④怎樣求函數(shù)的最值？

評(píng)析明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的首要條件.在課堂中，汪老師在充分分析課程標(biāo)準(zhǔn)、教材內(nèi)容、學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)和教學(xué)輔助手段之后，結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，用規(guī)范的語(yǔ)言將課堂目標(biāo)展示在黑板上.預(yù)設(shè)性教學(xué)目標(biāo)引導(dǎo)著學(xué)生閱讀課本，使學(xué)生的閱讀有更合適的指向性，由被動(dòng)學(xué)習(xí)的狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榉e極主動(dòng)的學(xué)習(xí)，潛移默化中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言閱讀能力和自我總結(jié)能力，也促進(jìn)了教學(xué)活動(dòng)的完成，提高教學(xué)活動(dòng)的效果和效率[l].

2 函數(shù)最值概念處的多角度理解

學(xué)生的概念理解和應(yīng)用水平是衡量教學(xué)質(zhì)量高低的最重要標(biāo)準(zhǔn).但是很多人對(duì)于函數(shù)最值的概念經(jīng)常忽視.在汪老師課堂中，首先在學(xué)生自學(xué)的基礎(chǔ)上，從最值的兩個(gè)條件出發(fā)深刻理解函數(shù)最值概念.再通過幾個(gè)鮮明的例子，具體、形象的將函數(shù)最值的注意點(diǎn)指出.即檢驗(yàn)學(xué)生課堂閱讀能力，同時(shí)也輕松的化解最值概念理解的誤區(qū).

問題1 在圖1中1是不是最小值？為什么？

問題2 函數(shù)的最值只有一個(gè)對(duì)嗎？

3 課本例題的梯度教學(xué)

課本中的每一道例題，都是教材編寫專家反復(fù)論證、推敲確定下來的.題目的選擇既是知識(shí)的經(jīng)典運(yùn)用，也是數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的好素材，還蘊(yùn)含著基本的數(shù)學(xué)思想方法和豐富的背景[2].其解答也具有一定的示范性和啟發(fā)性.下面一起感受汪老師怎樣玩轉(zhuǎn)這些高教學(xué)價(jià)值的課本習(xí)題.最大值和最小值.

解設(shè)x，x2是區(qū)間[2，6]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且X

設(shè)任意2≤xi

分別取得最大值與最小值，

即在x=2時(shí)，f （x）取得最大值2.

即在x=6時(shí)，f（x）取得最小值0.4.

評(píng)析汪老師在教學(xué)中，不是對(duì)照課本簡(jiǎn)單闡述其解答，而是通過在黑板上，一步步詳細(xì)地解題的過程，深化利用單調(diào)性定義求函數(shù)最值的思想方法.并強(qiáng)調(diào)要嚴(yán)格按照這個(gè)解題規(guī)范來解答.很好地達(dá)到了課本例題指向性和示范性的作用.

由Xlo，XI，x2的地位相等，怎么選取x1，x2使得（x1-I）（X2-1）能判斷正負(fù).<1時(shí)，X2-XI>o，（x1-1）（X2-1）>o，于是f（XI）-f（X2）>0，即f（xl）>f（X2），則函數(shù)f（x）

當(dāng)1o，（x1-I）（X2-1）>o，于是f（XI）-f（X2）>0，即f（xl）> f（X2），則函數(shù)f（x）

評(píng)析在本題的練習(xí)中，汪老師巡視課堂，點(diǎn)了3個(gè)學(xué)生去黑板演示.生l在開始判斷處就出現(xiàn)錯(cuò)誤;生2判斷對(duì)了，但是沒有將最值求出來;生3完整地完成此題，但是格式不規(guī)范.汪老師一句X1，x2的地位相等，將學(xué)生的疑惑解決，開始了分區(qū)間的討論.為分段函數(shù)的單調(diào)性解決打下基礎(chǔ).同時(shí)此變式將函數(shù)的定義域擴(kuò)展到全體實(shí)數(shù)，讓學(xué)生感受到由特殊到一般的思想.

的圖象嗎？

評(píng)析在課本例題的基礎(chǔ)上，尋找不同的問題解決方法.從最值的幾何意義出發(fā)來解決最值的問題.通過數(shù)形結(jié)合的合理展示，將函數(shù)無最值的結(jié)論清晰地向?qū)W生展示.

上單調(diào)遞減，求以的取值范圍.

解法1（用單調(diào)性求最值）設(shè)Xl，x2是區(qū)間（1，+∞）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且X1

由lo，x1，x2的地位相等，怎么選取X，X2使得（x1-a）（x2-a）>0，

當(dāng)以≤1時(shí)，（x1-a）（x2-a）>0，

于是f（xi）-f（x2）>0，即f（xl）> f（x2），

綜上所述：以的取值范圍為（一∞，1].

的取值范圍為（一∞，1].

總結(jié) 求函數(shù)最值分兩種方法：

（l）基本初等函數(shù)法：

（2）定義法：函數(shù)單調(diào)性解決，

評(píng)析 教學(xué)過程中汪老師充分發(fā)揮課本例題的教學(xué)功能，從多方面多角度去思考問題，尋找不同的問題解決途徑，達(dá)到以少勝多的目的，在相關(guān)的變式練習(xí)中，選擇的練習(xí)思維過程具有合適的梯度，逐步增加創(chuàng)造性元素.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)課本典型例題解法的總結(jié)、回味與“提煉”.有利于學(xué)生概括各種解題技巧或從不同角度更換解題的技能和方法.能夠做到吃透一道題，掌握一類題，悟出一些方法、道理，讓學(xué)生從題海中解放出來[3].

4 高中數(shù)學(xué)課的特征

國(guó)外學(xué)者對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)課堂的研究發(fā)現(xiàn)中國(guó)的數(shù)學(xué)課堂有以下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：（1）多角度理解知識(shí);（2）有層次地推進(jìn)教學(xué);（3）尋找不同的問題解決途徑.這幾點(diǎn)也正是汪老師對(duì)典型的中國(guó)式數(shù)學(xué)教學(xué)魅力的體現(xiàn).

4.1 多角度理解知識(shí)

中國(guó)留美學(xué)者馬力平的研究表明：在學(xué)科知識(shí)的“深刻理解”上，中國(guó)教師有明顯的優(yōu)勢(shì).在數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)過程中，中國(guó)教師更注重對(duì)概念、原理進(jìn)行多角度的理解.在本節(jié)課中汪老師從以下幾個(gè)角度對(duì)函數(shù)最值進(jìn)行多角度的解釋：（I）通過學(xué)生自學(xué)，感受經(jīng)驗(yàn)層面、描述性層面函數(shù)的最大（小）值，不是嚴(yán)格意義上的數(shù)學(xué)定義;（2）經(jīng)歷從圖形表征到自然語(yǔ)言表征，最后到形式化定義的形成過程，以達(dá)到對(duì)最值概念的實(shí)質(zhì)性理解.使學(xué)生能夠準(zhǔn)確表達(dá)與運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，包括文字語(yǔ)言，符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言;（3）通過非本質(zhì)變式的圖形使學(xué)生掌握最值的概念本質(zhì)屬性，使學(xué)生對(duì)概念理解更透徹.從而能迅速、合理地完成相關(guān)的運(yùn)用.也能夠進(jìn)一步完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識(shí)系統(tǒng)性.

4.2 變式推進(jìn)教學(xué)

美國(guó)密歇根州立大學(xué)彭恩霖教授根據(jù)對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)多年實(shí)地考察與研究，把中國(guó)教學(xué)法描述為“鑒賞家模式”.中國(guó)課堂由淺入深地層次推進(jìn)的教學(xué)方式給她留下了深刻印象.從汪老師針對(duì)課本例題的變式我們就可以看出，她的課堂強(qiáng)調(diào)突出重點(diǎn)，又分小步教學(xué)，定義域從特殊到一般，從具體函數(shù)到含參函數(shù)，不斷為學(xué)生搭建學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的階梯，幫助學(xué)生把一個(gè)大難題分為若干小問題，由易而難，一個(gè)臺(tái)階、一個(gè)臺(tái)階地學(xué)習(xí)前進(jìn).同時(shí)汪老師的課堂提問也是循序漸進(jìn)的.她善于用不同難度的題目對(duì)不同程度的學(xué)生發(fā)問，讓每個(gè)孩子都有成就感，并且真正掌握知識(shí)要點(diǎn).

4.3 尋找不同的問題解決途徑

在汪老師的課堂中，她一直強(qiáng)調(diào)不要害怕錯(cuò)誤，鼓勵(lì)學(xué)生提出自己的各種想法.讓學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)的探索，然后大家一起探討不同的問題解決途徑的優(yōu)劣，找出適合的通法.通過不同途徑的思維展示使學(xué)生真正將新知識(shí)納入自己的認(rèn)知系統(tǒng)中.

汪老師的這節(jié)課讓筆者深深地感受到中國(guó)數(shù)學(xué)

教學(xué)的魅力，希望通過中國(guó)數(shù)學(xué)課堂的特點(diǎn)，使孩子們?cè)跀?shù)學(xué)中學(xué)有所成.

參考文獻(xiàn)

[1]孔冬良，數(shù)學(xué)課堂因合理的目標(biāo)預(yù)設(shè)而精彩[J].新課程學(xué)習(xí)（上），2014（11）：4

[2]徐學(xué)鋒，充分利用和開發(fā)課本例題和習(xí)題資源，搞好高中數(shù)學(xué)教學(xué)[J].中學(xué)生數(shù)理化（學(xué)研版），2014 （9）：12

[3]馬雄飛，從一題多解看高中變式教學(xué)策略[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2014 （7）：49-50