一節函數最值課教學賞析

鄭敏　董濤　鄭曉穎

函數最值課怎么教？這是青年教師非常關注的問題.筆者近期聽了一節印象深刻的高中函數最值課.該課條理清晰、邏輯清楚、層次遞進、流暢自然，體現了高中數學教學的典型特征.以下筆者將評析這節課的關鍵教學設計.并以該課為例，進一步探討高中數學課的典型特征.

下面走進汪老師的課堂：

1 教學目標預設下的自學

請同學們閱讀課本，并解決以下問題：

①什么是函數的最大值、最小值？

②最大（?。┲档膸缀我饬x是什么？

③畫出幾個基本初等函數的圖象，討論它們的最值.

④怎樣求函數的最值？

評析明確學習目標，是提高數學教學質量的首要條件.在課堂中，汪老師在充分分析課程標準、教材內容、學生認知特點和教學輔助手段之后，結合多年的教學經驗，用規范的語言將課堂目標展示在黑板上.預設性教學目標引導著學生閱讀課本，使學生的閱讀有更合適的指向性，由被動學習的狀態轉變為積極主動的學習，潛移默化中提高學生的數學語言閱讀能力和自我總結能力，也促進了教學活動的完成，提高教學活動的效果和效率[l].

2 函數最值概念處的多角度理解

學生的概念理解和應用水平是衡量教學質量高低的最重要標準.但是很多人對于函數最值的概念經常忽視.在汪老師課堂中，首先在學生自學的基礎上，從最值的兩個條件出發深刻理解函數最值概念.再通過幾個鮮明的例子，具體、形象的將函數最值的注意點指出.即檢驗學生課堂閱讀能力，同時也輕松的化解最值概念理解的誤區.

問題1 在圖1中1是不是最小值？為什么？

問題2 函數的最值只有一個對嗎？

3 課本例題的梯度教學

課本中的每一道例題，都是教材編寫專家反復論證、推敲確定下來的.題目的選擇既是知識的經典運用，也是數學思維訓練的好素材，還蘊含著基本的數學思想方法和豐富的背景[2].其解答也具有一定的示范性和啟發性.下面一起感受汪老師怎樣玩轉這些高教學價值的課本習題.最大值和最小值.

解設x，x2是區間[2，6]上的任意兩個實數，且X

設任意2≤xi

分別取得最大值與最小值，

即在x=2時，f （x）取得最大值2.

即在x=6時，f（x）取得最小值0.4.

評析汪老師在教學中，不是對照課本簡單闡述其解答，而是通過在黑板上，一步步詳細地解題的過程，深化利用單調性定義求函數最值的思想方法.并強調要嚴格按照這個解題規范來解答.很好地達到了課本例題指向性和示范性的作用.

由Xlo，XI，x2的地位相等，怎么選取x1，x2使得（x1-I）（X2-1）能判斷正負.<1時，X2-XI>o，（x1-1）（X2-1）>o，于是f（XI）-f（X2）>0，即f（xl）>f（X2），則函數f（x）

當1o，（x1-I）（X2-1）>o，于是f（XI）-f（X2）>0，即f（xl）> f（X2），則函數f（x）

評析在本題的練習中，汪老師巡視課堂，點了3個學生去黑板演示.生l在開始判斷處就出現錯誤;生2判斷對了，但是沒有將最值求出來;生3完整地完成此題，但是格式不規范.汪老師一句X1，x2的地位相等，將學生的疑惑解決，開始了分區間的討論.為分段函數的單調性解決打下基礎.同時此變式將函數的定義域擴展到全體實數，讓學生感受到由特殊到一般的思想.

的圖象嗎？

評析在課本例題的基礎上，尋找不同的問題解決方法.從最值的幾何意義出發來解決最值的問題.通過數形結合的合理展示，將函數無最值的結論清晰地向學生展示.

上單調遞減，求以的取值范圍.

解法1（用單調性求最值）設Xl，x2是區間（1，+∞）上的任意兩個實數，且X1

由lo，x1，x2的地位相等，怎么選取X，X2使得（x1-a）（x2-a）>0，

當以≤1時，（x1-a）（x2-a）>0，

于是f（xi）-f（x2）>0，即f（xl）> f（x2），

綜上所述：以的取值范圍為（一∞，1].

的取值范圍為（一∞，1].

總結 求函數最值分兩種方法：

（l）基本初等函數法：

（2）定義法：函數單調性解決，

評析 教學過程中汪老師充分發揮課本例題的教學功能，從多方面多角度去思考問題，尋找不同的問題解決途徑，達到以少勝多的目的，在相關的變式練習中，選擇的練習思維過程具有合適的梯度，逐步增加創造性元素.同時引導學生對課本典型例題解法的總結、回味與“提煉”.有利于學生概括各種解題技巧或從不同角度更換解題的技能和方法.能夠做到吃透一道題，掌握一類題，悟出一些方法、道理，讓學生從題海中解放出來[3].

4 高中數學課的特征

國外學者對中國數學課堂的研究發現中國的數學課堂有以下幾個優點：（1）多角度理解知識;（2）有層次地推進教學;（3）尋找不同的問題解決途徑.這幾點也正是汪老師對典型的中國式數學教學魅力的體現.

4.1 多角度理解知識

中國留美學者馬力平的研究表明：在學科知識的“深刻理解”上，中國教師有明顯的優勢.在數學知識的教學過程中，中國教師更注重對概念、原理進行多角度的理解.在本節課中汪老師從以下幾個角度對函數最值進行多角度的解釋：（I）通過學生自學，感受經驗層面、描述性層面函數的最大（?。┲?，不是嚴格意義上的數學定義;（2）經歷從圖形表征到自然語言表征，最后到形式化定義的形成過程，以達到對最值概念的實質性理解.使學生能夠準確表達與運用數學語言，包括文字語言，符號語言和圖形語言;（3）通過非本質變式的圖形使學生掌握最值的概念本質屬性，使學生對概念理解更透徹.從而能迅速、合理地完成相關的運用.也能夠進一步完善學生認知結構中的知識系統性.

4.2 變式推進教學

美國密歇根州立大學彭恩霖教授根據對中國數學課堂教學多年實地考察與研究，把中國教學法描述為“鑒賞家模式”.中國課堂由淺入深地層次推進的教學方式給她留下了深刻印象.從汪老師針對課本例題的變式我們就可以看出，她的課堂強調突出重點，又分小步教學，定義域從特殊到一般，從具體函數到含參函數，不斷為學生搭建學習和掌握數學知識和技能的階梯，幫助學生把一個大難題分為若干小問題，由易而難，一個臺階、一個臺階地學習前進.同時汪老師的課堂提問也是循序漸進的.她善于用不同難度的題目對不同程度的學生發問，讓每個孩子都有成就感，并且真正掌握知識要點.

4.3 尋找不同的問題解決途徑

在汪老師的課堂中，她一直強調不要害怕錯誤，鼓勵學生提出自己的各種想法.讓學生進行主動的探索，然后大家一起探討不同的問題解決途徑的優劣，找出適合的通法.通過不同途徑的思維展示使學生真正將新知識納入自己的認知系統中.

汪老師的這節課讓筆者深深地感受到中國數學

教學的魅力，希望通過中國數學課堂的特點，使孩子們在數學中學有所成.

參考文獻

[1]孔冬良，數學課堂因合理的目標預設而精彩[J].新課程學習（上），2014（11）：4

[2]徐學鋒，充分利用和開發課本例題和習題資源，搞好高中數學教學[J].中學生數理化（學研版），2014 （9）：12

[3]馬雄飛，從一題多解看高中變式教學策略[J].數理化學習（高中版），2014 （7）：49-50