“由內及表”與“層層剝筍”

周瑩

在數學解題中巧妙地運用轉化思想，可以化難為易、化繁為簡，達到事半功倍的效果。數學解題的策略就是為實現解題目標所采取的對策，即按照數學題目在外形、結構、思維等方面的特點，采取針對性的具體手段和方法以達到解題的目的。

一、從一般到特殊。化特殊為一般

“一般轉化為特殊”和“特殊轉化為一般”是用辯證的觀點來觀察和處理問題的兩個思維方向相反的思想方法，兩者既各有其獨特的作用，又是互相制約、互相補充的。

（一）一般轉化為特殊

“一般轉化為特殊”在數學解題中的應用比比皆是，如定值、定點、定線、定圓等問題，解選擇題的特值檢驗法也是把一般結論特殊化的應用。

分析：為了解題的方便，可把它們的周長設為特殊的數值。

從上例中看出，對若干典型的（有代表的）特殊個體進行深入探討，常常可以找出問題的關鍵，從而有助于揭示一般問題的本質，進而使一般問題的解決有所突破。

（二）特殊轉化為一般

“特殊轉化為一般”在數學解題的應用中以“找規律”題目最為顯著。

二、形結合數，數體現形

（一）形轉化為數

很多數學問題，已知圖形已經做出，或容易做出，要解決這類問題，主要是尋找恰當表達問題的關系式，即將幾何問題代數化，以數解形，使問題獲解。例如平面向量用坐標表示，可將幾何問題轉化為代數問題。

例2：如圖所示，正方形ABCD中，P為對角線BD上的一點，四邊形PECT是矩形，證明PA=EF。

分析：本題所給圖形為正方形，故可考慮建立平面直角坐標系，用向量坐標法來解決，為此只要寫出PA和EF的坐標，證明其模相等即可。

這是數形結合思想的重要體現，利用向量坐標法時，選取適當的位置建立坐標系是關鍵。

（二）數轉化為形

很多數學問題，本身是代數方面的問題，但通過觀察可發現它具有某種幾何特征，由這種幾何特征可發現數與形之間的新關系，將代數問題化為幾何問題，使問題獲解。

三、正面與反面的轉化

在解決數學問題時，我們往往是由已知推出結論，長此以往形成了從正面思考問題的思維定勢，而有些問題從正面解決會比較麻煩。所以，我們可以從其反面入手解決。另外，反證法也是利用了正面與反面轉化的思想。

例3：已知方程x²+ax+1=0，x²+2x-a=0，X²+2ax+2=0，若三個方程至少有一個有實根，求實數a的取值范圍。

分析：若直接正面求解，則需分類討論且情況繁多，因此考慮問題的反面，應用“補集”思想解決。

“正難則反”為我們研究問題開辟了新思路，今后要有意識地去體會并運用，在順向思維受阻時，改用逆向思維，這是轉化思想的又一體現。

四、實際問題向數學問題的轉化

實際問題向數學問題的轉化，是在理解的基礎上，通過列表、畫圖、引入變量、建立直角坐標系等手段把實際問題翻譯成數學問題，把文字語言翻譯成數學符號語言。

總之，在數學解題中巧妙地運用轉化思想可以化難為易、化繁為簡，達到事半功倍的效果。因此，我們應該在整個數學學習中貫穿轉化這條主線，經常有意識地突出轉化思想，這樣我們的解題能力才能有顯著的提高。