“由內(nèi)及表”與“層層剝筍”

周瑩

在數(shù)學(xué)解題中巧妙地運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，可以化難為易、化繁為簡，達(dá)到事半功倍的效果。數(shù)學(xué)解題的策略就是為實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)所采取的對策，即按照數(shù)學(xué)題目在外形、結(jié)構(gòu)、思維等方面的特點(diǎn)，采取針對性的具體手段和方法以達(dá)到解題的目的。

一、從一般到特殊。化特殊為一般

“一般轉(zhuǎn)化為特殊”和“特殊轉(zhuǎn)化為一般”是用辯證的觀點(diǎn)來觀察和處理問題的兩個思維方向相反的思想方法，兩者既各有其獨(dú)特的作用，又是互相制約、互相補(bǔ)充的。

（一）一般轉(zhuǎn)化為特殊

“一般轉(zhuǎn)化為特殊”在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用比比皆是，如定值、定點(diǎn)、定線、定圓等問題，解選擇題的特值檢驗(yàn)法也是把一般結(jié)論特殊化的應(yīng)用。

分析：為了解題的方便，可把它們的周長設(shè)為特殊的數(shù)值。

從上例中看出，對若干典型的（有代表的）特殊個體進(jìn)行深入探討，常常可以找出問題的關(guān)鍵，從而有助于揭示一般問題的本質(zhì)，進(jìn)而使一般問題的解決有所突破。

（二）特殊轉(zhuǎn)化為一般

“特殊轉(zhuǎn)化為一般”在數(shù)學(xué)解題的應(yīng)用中以“找規(guī)律”題目最為顯著。

二、形結(jié)合數(shù)，數(shù)體現(xiàn)形

（一）形轉(zhuǎn)化為數(shù)

很多數(shù)學(xué)問題，已知圖形已經(jīng)做出，或容易做出，要解決這類問題，主要是尋找恰當(dāng)表達(dá)問題的關(guān)系式，即將幾何問題代數(shù)化，以數(shù)解形，使問題獲解。例如平面向量用坐標(biāo)表示，可將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。

例2：如圖所示，正方形ABCD中，P為對角線BD上的一點(diǎn)，四邊形PECT是矩形，證明PA=EF。

分析：本題所給圖形為正方形，故可考慮建立平面直角坐標(biāo)系，用向量坐標(biāo)法來解決，為此只要寫出PA和EF的坐標(biāo)，證明其模相等即可。

這是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)，利用向量坐標(biāo)法時，選取適當(dāng)?shù)奈恢媒⒆鴺?biāo)系是關(guān)鍵。

（二）數(shù)轉(zhuǎn)化為形

很多數(shù)學(xué)問題，本身是代數(shù)方面的問題，但通過觀察可發(fā)現(xiàn)它具有某種幾何特征，由這種幾何特征可發(fā)現(xiàn)數(shù)與形之間的新關(guān)系，將代數(shù)問題化為幾何問題，使問題獲解。

三、正面與反面的轉(zhuǎn)化

在解決數(shù)學(xué)問題時，我們往往是由已知推出結(jié)論，長此以往形成了從正面思考問題的思維定勢，而有些問題從正面解決會比較麻煩。所以，我們可以從其反面入手解決。另外，反證法也是利用了正面與反面轉(zhuǎn)化的思想。

例3：已知方程x²+ax+1=0，x²+2x-a=0，X²+2ax+2=0，若三個方程至少有一個有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析：若直接正面求解，則需分類討論且情況繁多，因此考慮問題的反面，應(yīng)用“補(bǔ)集”思想解決。

“正難則反”為我們研究問題開辟了新思路，今后要有意識地去體會并運(yùn)用，在順向思維受阻時，改用逆向思維，這是轉(zhuǎn)化思想的又一體現(xiàn)。

四、實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化

實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，是在理解的基礎(chǔ)上，通過列表、畫圖、引入變量、建立直角坐標(biāo)系等手段把實(shí)際問題翻譯成數(shù)學(xué)問題，把文字語言翻譯成數(shù)學(xué)符號語言。

總之，在數(shù)學(xué)解題中巧妙地運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想可以化難為易、化繁為簡，達(dá)到事半功倍的效果。因此，我們應(yīng)該在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中貫穿轉(zhuǎn)化這條主線，經(jīng)常有意識地突出轉(zhuǎn)化思想，這樣我們的解題能力才能有顯著的提高。