反例教學的思考

安徽省南陵縣籍山鎮(zhèn)新建初級中學 章正平

一、反例教學必要性認識

1.數(shù)學發(fā)展本身的需要

在數(shù)學問題的探索中，猜想結(jié)論是否正確，正確的要嚴格證明，錯誤的可舉反例。完成證明和構(gòu)造反例是每個數(shù)學新發(fā)現(xiàn)的必經(jīng)之路。

例1 一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形。

雖然平行四邊形有對邊相等，對角相等的結(jié)論，該命題有可能成立，但證明它又沒有充分的理由，這時能例舉反例就尤為必要和重要了。

2.契合新理念

通過學習數(shù)學新課程標準知道，老師在教學中應鼓勵學生主動地參與觀察、實驗、猜測、驗證、推理和交流等數(shù)學活動。在學習數(shù)學的過程中培養(yǎng)學生獨立探究和合作交流能力，而學生猜測結(jié)論正確與否，則需要證明和舉反例給出判斷結(jié)論，所以反例教學在數(shù)學中應有重要的地位，也是符合新理念的要求。

二、構(gòu)造反例原理認識

舉反例需要弄清構(gòu)造原理，舉反例的過程其實是一個創(chuàng)造性思維活動的過程，構(gòu)造時首先要弄清命題的題設(shè)和結(jié)論，在此基礎(chǔ)上構(gòu)造一個滿足命題題設(shè)（條件）而得到不同結(jié)論或多于原命題結(jié)論的命題。若能舉出這樣的例子，就算是一個很完美成功的反例。

例2 能被2 整除，必能被4 整除（假）。反例如下：18÷2=9，18÷4=4.5（不是整數(shù)）。

例3 一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形（假）。反例如下：等腰梯形是滿足條件而結(jié)論不是平行四邊形。

三、構(gòu)造反例的困難性認識

有些假命題舉反例相當困難。如例1 就是假命題，反例構(gòu)造如下：如圖1，先作等腰梯形ABCD，過D 作DM ⊥BA，垂足為BA 延長線上一點M，找點B 關(guān)于M 的對稱點B'，連接B'D，則四邊形ACDB'中有DB'=BD=AC,∠B′=∠ABD=∠DCA,但AB'與CD 不平行,顯然四邊形ACDB′不是平行四邊形，可以看出圖1 顯示的四邊形為凹四邊形，圖2 顯示的四邊形為凸四邊形。

圖1

圖2

四、構(gòu)造反例的意義

1.構(gòu)造出命題的一個反例能準確弄清該命題的真假性，構(gòu)造反例也是糾正錯誤的有效方法。概念、定理的教學引入都是采取正面敘述的方式,而學生對概念的關(guān)鍵詞理解不清，往往會出現(xiàn)一些錯誤。如：判斷命題“如果a 是實數(shù)，那么的真假，只要舉一反例：a=0，而這可能是中學生遇到的第一個反例。多年的教學經(jīng)驗告訴我們：即使到了初三，還有相當多的學生仍在犯這樣的錯誤。

2.構(gòu)造反例過程中能體現(xiàn)思維的縝密性，使我們考慮問題更全面、準確、完整，進而能修正這個命題的結(jié)論，使假命題成為真命題。

例3 反例構(gòu)造過程如下：如圖3，線段AB ∥直線MN，在MN上任取一點D，連接BC，AD 與MN 不垂直。以B 為圓心,以AD 為半徑畫弧交MN 有兩點C、C'，則有四邊形ABC'D 為等腰梯形,四邊形ABCD 為平行四邊形。

圖3

由此可知，例3 的命題可修正如下：一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形或是等腰梯形（真）。

3.構(gòu)造反例也是培養(yǎng)學生發(fā)散思維的有效途徑。

例如：正多邊形各邊都相等，各角都相等。學生正向理解應用都不難，教師從反向發(fā)散更有意義。

判斷：（1）各邊都相等的多邊形一定是正多邊形；（2）各角都相等的多邊形一定是正多邊形。

顯然（1）和（2）都是假的，學生很容易想到這兩個反例：菱形和矩形。有其他的嗎？這就需要學生開動腦筋，尋找其他反例，老師可適當提示，從四邊形反例中跳出來，舉五邊形，六邊形等其他多邊形考慮。從穩(wěn)定性和平移變化不同的角度來舉反例，其實這樣的反例有無數(shù)個，這樣學生思維就發(fā)散打開了。

學習認識反例，成功構(gòu)造反例是學習數(shù)學命題一項必備知識，亦是判斷命題真假的重要一環(huán)，也是提高學生探究能力的有效途徑。構(gòu)造反例有利于縝密思考,糾正錯誤結(jié)論,澄清模糊概念,培養(yǎng)學生發(fā)散性思維及創(chuàng)造性思維的能力，有利于培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì)和良好的學習習慣，因此構(gòu)造反例是數(shù)學學習必不可少的基本功，我們在數(shù)學教學過程中要重視這一技能的培養(yǎng)和訓練。