初中數學勾股定理的多種證明方法

江西省南昌市廣南學校 劉 瑩

引領學生探索多種證明勾股定理的方法，對扎實學生數學基礎知識、提高學生解決問題的能力具有重要作用。本文從以下幾點闡述初中數學教學中如何引導學生從多角度探索勾股定理的證明方法。

一、平移推理法

平移推理法簡單有趣，有助于學生的理解記憶。在學生初次接觸勾股定理時，教師不妨引導學生使用平移法證明勾股定理，以此激發學生的學習興趣。

圖1

圖2

圖3

二、割補拼接法

割補拼接法證明方法變化多，對鍛煉學生思維的靈活性、獨創性和敏捷性具有一定的作用。因此教師便可引導學生利用割補拼接法證明勾股定理，以提高學生的思維能力。

首先，我讓學生準備若干正方形和直角三角形的卡片，讓學生自由拼接出其他圖形，試圖找出其中勾股定理的證明方法。待學生思考一陣，我便用多媒體為學生展示上圖3，并介紹道：“這是我國古代數學家趙爽創制的‘勾股圓方圖’，他利用這幅圖證明了勾股定理，同學們能發現這幅圖的奧妙嗎？”我讓學生利用手邊的卡片拼出“趙爽弦圖”，并提示學生：“設圖中直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c，那么這個大正方形的面積有幾種表示方法呢？”在我的引導下，一名學生寫出證明過程：

大正方形的邊長為c，其面積為c2。

因為圖中四個直角三角形全等，

所以小正方形的邊長為b-a，其面積為（b-a）2。

然后，我再鼓勵學生拼出其他圖形并進行證明。通過這一過程，可以讓學生了解到多種證明勾股定理的渠道，并有效鍛煉學生的思維品質，培養學生的創新能力，從而提升學生的數學綜合素養。

三、圓形輔助法

以上證明勾股定理的方法都離不開正方形的輔助，為拓展學生思維，我又引入“圓形輔助法”，即通過作直角三角形的外接圓、內切圓來證明勾股定理。這種方法涉及一些圓的知識，但并不復雜，可作為勾股定理的拓展學習。且由于這種證明方法較為新穎，可以有效激發學生的探索欲望，教師也可以借此鍛煉學生自主探究的能力。

首先，我利用多媒體為學生展示圖4，并做簡單介紹：在Rt △ABC 中，直角邊BC=a，AC=b，斜邊AB=c。作△ABC 的內切圓，切點為D、E、F，半徑為r。

然后我向學生說明“過切點的半徑垂直于該切線”的性質，接著便讓學生自主探究勾股定理的證明方式。結果，學生便根據三角形全等的性質，找出圖中幾組長度相等的邊，得出AC+BCAB=2r，即a+b-c=2r，進而得出a2+b2+2ab=4（r2+rc）+c2。然后，又將△AOC、△AOB、△BOC 的面積相加，得出△ABC 的面積為r2+rc。又因為所以由a2+b2+2ab=4（r2+rc）+c2可以得出a2+b2=c2。

圖4

學生先是利用圓的性質和全等三角形的知識找出有價值的條件，然后根據以往證明思路找出計算大三角形面積的兩種方法，并找出等量關系，進而證明了勾股定理。所以說這種證明方法對于開拓學生思維、鍛煉學生探究能力大有裨益。

總之，在初中數學勾股定理的教學中，教師可適當為學生介紹多種勾股定理的證明方法，以激發學生的學習興趣和學習潛能，開拓思維，進而提升學生的數學綜合能力。