初中數(shù)學勾股定理的多種證明方法

江西省南昌市廣南學校 劉 瑩

引領學生探索多種證明勾股定理的方法，對扎實學生數(shù)學基礎知識、提高學生解決問題的能力具有重要作用。本文從以下幾點闡述初中數(shù)學教學中如何引導學生從多角度探索勾股定理的證明方法。

一、平移推理法

平移推理法簡單有趣，有助于學生的理解記憶。在學生初次接觸勾股定理時，教師不妨引導學生使用平移法證明勾股定理，以此激發(fā)學生的學習興趣。

圖1

圖2

圖3

二、割補拼接法

割補拼接法證明方法變化多，對鍛煉學生思維的靈活性、獨創(chuàng)性和敏捷性具有一定的作用。因此教師便可引導學生利用割補拼接法證明勾股定理，以提高學生的思維能力。

首先，我讓學生準備若干正方形和直角三角形的卡片，讓學生自由拼接出其他圖形，試圖找出其中勾股定理的證明方法。待學生思考一陣，我便用多媒體為學生展示上圖3，并介紹道：“這是我國古代數(shù)學家趙爽創(chuàng)制的‘勾股圓方圖’，他利用這幅圖證明了勾股定理，同學們能發(fā)現(xiàn)這幅圖的奧妙嗎？”我讓學生利用手邊的卡片拼出“趙爽弦圖”，并提示學生：“設圖中直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c，那么這個大正方形的面積有幾種表示方法呢？”在我的引導下，一名學生寫出證明過程：

大正方形的邊長為c，其面積為c2。

因為圖中四個直角三角形全等，

所以小正方形的邊長為b-a，其面積為（b-a）2。

然后，我再鼓勵學生拼出其他圖形并進行證明。通過這一過程，可以讓學生了解到多種證明勾股定理的渠道，并有效鍛煉學生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，從而提升學生的數(shù)學綜合素養(yǎng)。

三、圓形輔助法

以上證明勾股定理的方法都離不開正方形的輔助，為拓展學生思維，我又引入“圓形輔助法”，即通過作直角三角形的外接圓、內(nèi)切圓來證明勾股定理。這種方法涉及一些圓的知識，但并不復雜，可作為勾股定理的拓展學習。且由于這種證明方法較為新穎，可以有效激發(fā)學生的探索欲望，教師也可以借此鍛煉學生自主探究的能力。

首先，我利用多媒體為學生展示圖4，并做簡單介紹：在Rt △ABC 中，直角邊BC=a，AC=b，斜邊AB=c。作△ABC 的內(nèi)切圓，切點為D、E、F，半徑為r。

然后我向學生說明“過切點的半徑垂直于該切線”的性質(zhì)，接著便讓學生自主探究勾股定理的證明方式。結果，學生便根據(jù)三角形全等的性質(zhì)，找出圖中幾組長度相等的邊，得出AC+BCAB=2r，即a+b-c=2r，進而得出a2+b2+2ab=4（r2+rc）+c2。然后，又將△AOC、△AOB、△BOC 的面積相加，得出△ABC 的面積為r2+rc。又因為所以由a2+b2+2ab=4（r2+rc）+c2可以得出a2+b2=c2。

圖4

學生先是利用圓的性質(zhì)和全等三角形的知識找出有價值的條件，然后根據(jù)以往證明思路找出計算大三角形面積的兩種方法，并找出等量關系，進而證明了勾股定理。所以說這種證明方法對于開拓學生思維、鍛煉學生探究能力大有裨益。

總之，在初中數(shù)學勾股定理的教學中，教師可適當為學生介紹多種勾股定理的證明方法，以激發(fā)學生的學習興趣和學習潛能，開拓思維，進而提升學生的數(shù)學綜合能力。