穩健參數設計發展現狀和趨勢研究

王淑婷

摘要：本文梳理總結了國內外文獻，分別對穩健參數設計以及多響應優化方法進行闡述，通過對文獻的整理，了解穩健參數設計的發展歷程、研究現狀，并分析穩健參數設計和多響應優化方法的研究趨勢。

Abstract： This paper summarizes the domestic literature and abroad， elaborates robust parameter design and multi-response optimization methods respectively， Through the literature collation， we understand the development history and research status of robust parameter design， and analyze the research trend of robust parameter design and multi-response optimization methods.

關鍵詞：參數設計;優化算法;質量設計

Key words： parameter design;optimization algorithm;quality design

中圖分類號：TB21? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1006-4311（2019）18-0256-04

1? 穩健參數設計方法

在技術創新、實現量產的情況下，國內外對產品的需求不僅僅局限于數量，而是更加關注質量，隨著人們的需求變化，工業界開始了對質量的控制和改進。但是傳統的質量控制集中在事后控制，無法實現從源頭上降低成本、提高產品質量的目標。在70年代，Taguchi提出了穩健設計方法來進行質量控制，并在研究者們的深入探索中，不斷對其進行改進，以滿足實際需求。穩健參數設計主要內容是，在產品設計過程中，通過控制可控因子的組合，得到多組實驗數據，選取最佳的參數組合，這一方法能有效的減少波動，提高產品的穩健性。

1.1 基于田口方法的穩健參數設計

穩健設計[1]也叫三次設計，包括系統設計、參數設計以及容差設計，其實質在對產品參數進行設計前，研究對象為可控因子，在考慮噪聲因子的情況下，進行正交試驗設計，得到多組不同的可控因子和噪聲因子組合以及實驗結果即響應值，通過計算信噪比，對于不同特性的響應值采取不同的信噪比計算公式，最終確定最優的參數組合。

在80年代的日本，三次設計被廣泛的使用在電子、化工、鋼鐵等多個行業[2]，與此同時，我國也逐漸對質量問題重視起來，邀請田口博士講學，在各地推廣田口方法，效果顯著。Taguchi博士根據不同的響應的特性，包括望大、望小和望目三種將SN比（信噪比）作為評價參數組合優劣的一種指標[1]：

1.1.1 望大特性信噪比：

1.1.2 望小特性信噪比：

1.1.3 望目特性信噪比：

在1992年的一次針對田口方法的討論會[3]上，Box提出田口方法的主要目標是在一組實驗內得到最優參數組合，但是這不具有代表性;Welch認為在使用田口方法需要進行大量的實驗，然而其得到的實驗數據卻無法代表實際生產過程，并且田口方法也沒有考慮因子之間是否存在交互作用;Kacker提到田口參數設計一般情況下無法考慮波動的影響，然而在實際生產過程中，波動是普遍存在的，并且對參數組合有較大的影響;Shoemaker等人提出建立組合表來同時考慮可控因子和噪聲因子，可以彌補Taguchi方法的不足;Myers提出Taguchi方法需要在試驗之前獲得響應值的散落區間的這一缺點。

1.2 基于響應曲面法的穩健參數設計

針對田口方法存在的不足，許多專家學者開始對田口方法進行優化和創新。90年代初期，Shoemaker考慮了因子之間的交互作用，提出了響應曲面法。但是需要在已知存在何種交互作用的基礎上才能使用響應曲面法，然而實際操作中，確定交互作用并進行試驗是非常復雜的過程。Gunst在響應曲面法中考慮了噪聲因子的存在，使得響應曲面法更加貼近實際操作，進而在工業界被廣泛使用。（圖1）

基于響應曲面法（RSM）的穩健參數設計可以分為雙響應曲面法（DRSM）和響應建模法（RMA）。1973年，Myers和Carter提出雙響應曲面法，1990年，Vining[4]等人使用該方法來解決參數設計問題，并擬合出二階多項式模型如式（4）（5）所示：

雙響應曲面法的實質是通過重復試驗獲得多組數據，分別擬合均值和方差兩個響應曲面模型，對這兩個模型進行優化，得到最優解。該方法從多個方面考慮了誤差的作用以及因子之間的相互作用，并且其優化精度也較高。

然而這一方法不可缺少的一部分是對模型進行擬合，而對于因子較多、響應之間具有相關性的情況難以擬合。響應建模法是基于Welch等提出的組合表進行試驗設計與建模的一種方法，在1991年，Shoemaker等學者在響應曲面法的基礎上，進一步推導出了響應的均值模型和方差模型。響應建模法的優點時，在計算響應的方差模型時，僅以少量的實驗數據就能實現，通過建立考慮了噪聲因素的響應的均值模型，對該均值模型直接求方差。Copeland等人在1996年提出將雙響應問題轉化為以次響應為約束條件來優化主響應的問題。李昭陽和韓之俊[5]通過設計正交實驗，并且利用計算機技術對噪聲因子變化進行仿真模擬，提高了模型的精度。但已有的雙響應曲面法存在許多問題，如多數研究集中于提高模型的擬合性，對于當前較為復雜的工藝不適用，因此，崔慶安[6]等人利用支持向量回歸機對模型的均值、方差的進行擬合。除了以上的研究，學者們還發現權重在穩健設計中發揮重要的作用，但以往的研究多以實驗者的主觀想法來確定權重，但這樣無法客觀的描述實驗結果，因此歐陽林寒[7]等學者將熵權理論引用到穩健設計中，并將加權MSE作為優化函數，這一方法同時對均值和標準差進行了優化。伍建軍[8]等人將對方差和均值求最優解的問題轉化為只求一個綜合滿意度函數最大值的問題。

1.3 基于廣義線性模型的穩健參數設計

隨著穩健參數設計在各行業中的使用，學者們發現并不是所有的響應都是服從正態分布的，如產品缺陷率服從泊松分布。對于這些非正態響應問題，無法用響應曲面法對其進行參數設計，因此學者們開始探索解決非正態響應問題的方法。1972年，Nelder等學者提出了廣義線性模型。

廣義線性模型的構成包括三個部分：

1984年，Pregibon提出將廣義線性模型法來處理參數設計非正態響應的問題。McCullagh、Nelder和Myers[9]等人在書中系統的詳細闡述了廣義線性模型并介紹了該方法在工程領域上的應用。Myers還提出，在一定程度上，廣義線性模型法是響應線性模型法的深化，對于響應符合正態分布的情況，其方差利用廣義線性模型來構建效果更佳。Lee[11]等學者建立了基于均值與散度的聯合廣義線性模型對非正態響應進行優化。接著還提出了分層廣義線性模型，Robinson[10]等人利用廣義線性混合模型描述了產品或過程波動的隨機效應。隨著工程領域過程的復雜化，相應的構建的模型也越來越復雜，因此傳統的優化方法已不再滿足需求，因此，需要對其進行深入研究。馬彥輝[12]為解決模型較為復雜的問題，對非正態響應的均值和方差函數進行二次泰勒級數展開。汪建均[13]等學者構建了基于GLM的雙響應曲面模型，并運用遺傳算法與模式搜索相結合對構建的模型尋優。吳劉倉[14]等學者應用最大擴展擬似然估計和最大偽似然估計來解決數據缺失問題。陳夏[15]等人研究了如何使得變量選擇和參數估計兩個過程同時進行的問題，提出對高維廣義線性模型進行擬似然自適應Lasso估計。

2? 參數優化方法

參數設計的最后一步就是對參數進行優化，在參數設計的過程中，已經將設計目標轉化為可定量分析的某種參數指標，通過優化方法對其尋優，最終得到最優參數組合。

2.1 滿意度函數法

為了使滿意度函數更加適用于實際情況，1980年，Derringer等學者滿意度函數描述為分段式函數，其實質是將每個響應轉換成單個的滿意度函數，建立綜合滿意度函數D，最優解就是D的最大值。

式中，di表示第i個響應的個體滿意度;Li表示第i個響應的下界;Ui表示第i個響應的上界;Ti表示第i個響應的目標值;指數si和ti決定著滿意度函數的凹凸性或者線性。

由于滿意度函數法比較簡單，被廣泛應用在在參數優化中，但是傳統的滿意度函數法存在許多不足：①未考慮響應之間的相關性;②未考慮響應的方差—協方差架構;③未考慮參數設計過程中因子容差擾動的影響;④對當前大量存在的實際工程應用中較為復雜的數據進行優化時，效果不佳。Shah[16]指出當響應之間的相關性較大時，滿意度函數法得到的結果不準確。Wu[17]探討了不同響應之間的相關性，并提出將滿意度函數和田口損失函數結合來建立優化模型。滿意度函數法的最終目標就是為了實現參數組合的穩健性。Lee[18]等人在滿意度函數中引入過程能力這一指標來實現過程中所有響應的穩健性。Kim等人[19]利用滿意度函數法同時優化了位置、散度模型。何楨[20]用置信區間來作為穩健性的一個衡量標準，考慮了響應的方差-協方差結構，對滿意度函數進行了改進。朱鵬飛[21]考慮了因子容差擾動對參數設計的影響，結合遺傳算法和模式搜索算法對其進行優化。張流洋[22]提出了同時考慮主觀、客觀權重對滿意度函數進行優化。劉玉敏[23]引入噪聲因素對傳統的滿意度模型進行改進。Salmasnia[24]同時考慮了實際工程中輸入和輸出之間的關系建立一種基于滿意度函數法的新型穩健參數設計。伍建軍[25]因此應用熵權理論構建了改進的綜合滿意度函數，并采用廣義降階梯度法求最優解。

2.2 質量損失函數法

田口博士認為若某產品的質量，僅僅是達到了一般要求，沒有達到其最優的狀態時，就會有質量的損失，因此田口提出質量損失函數，其表達式如下，其中L（x）表示質量損失，m表示質量特性標準，x表示質量特性值，K為常數表示質量損失系數：

質量損失觀點的實質是以定量的方式來質量對顧客造成的損失進行評價，用來評判產品質量的好壞。最初的質量損失集中于單響應研究，但是隨著當前實際工程的復雜化，對于質量的研究早已不是集中于單響應。因此學者們提出將多個響應變量描述成一個較為簡單的函數，使得質量損失函數法適用于多響應的參數優化，這個簡單的函數就是質量損失函數。Khuri、Kapur和Artiles-leon[27]等學者分別通過定義范式距離、泰勒級展開以及無量綱標準化給出了多變量質量損失函數。Ames[26]提出了二次損失函數用來優化模型。有學者認為上述的無量綱標準化的多變量損失函數有以下缺點：①沒有考慮多個響應之間的相關性;②該函數不適用于望大、望小的響應。因此馬義中[28]等人將無量綱損失函數進行疊加，把三種類型的質量特性合成一個系統，進而通過主成分分析來解決多響應之間的相關性問題。汪建均[29]通過貝葉斯統計建模，利用后驗概率方法對質量損失函數進行優化，實現了多變量的穩健性。楊昌明[30]研究了由于期望值異于響應值帶來的非對稱質量損失問題，引入截尾正態分布理論推導出均值計算公式，解決了該問題，用來Jenoui[31]利用Topsis方法和田口質量損失函數結合來解決模型或者參數等不確定這一問題。Eslamipoor[32]指出過程能力指數（PCI）在工程領域的實用性，評估了已有的PCI方法，他認為損失函數是PCI的重要工具。Nezhad[33]利用Taguchi的對稱二次質量損失函數來評估產品質量。

2.3 主成分分析法

主成分分析法（PCA）是由美國統計學家Pearson提出，之后Hotelling在隨機變量研究中應用主成分分析法。1997年，Su和Tong應用主成分分析法解決多響應優化問題，其關鍵步驟就是利用主成分分析法對多響應進行降維。但是該方法在分析過程時，將一些信息篩選出去了，造成最終留下的成分不全面。為克服PCA的這一缺點，Liao[34]提出一種加權的主成分分析法。Shih[35]將Liao提出的方法應用在實際生產過程中，有效的解決了多響應優化問題。但是加權主成分分析法僅僅對均值進行了優化，忽略了穩健性，無法實現穩健參數設計的最終目標。因此何楨[36]等人將PCA與RSM相結合同時優化了響應的均值和標準差。朱連燕[37]將PCA與DEA相結合以優化傳統的主成分分析法，有效地解決了響應間的相關性問題。Soh[38]設計了一種基于PCA的核方法，該方法允許在構建單個聚合性能度量時捕獲多個特征之間的非線性關系。

2.4 其他優化方法

傳統的優化方法還有廣義距離函數法、概率法、多元過程能力指數法等。宗志宇[39]等多位學者對幾種多響應優化方法進行了比較分析，最終通過實際數據分析得出滿意度函數法、概率法的優化效果較好的結論。

傳統的響應優化方法多集中于理論上的最優，而對于實際工程中的較多、復雜的參數難以實現全局優化。Myers等學者利用約束優化方法來處理雙響應曲面問題，但該方法只能用在當響應在一個凸可行域內對一個凸函數求最小的情況下。Copeland等人使用Nelder-Mead單純型算法對雙響應曲面問題進行優化求解。Ortiz[40]等人引入遺傳算法對滿意度函數進行優化，較以往的優化方法，遺傳算法能實現全局優化。在當前的工程問題中，使用遺傳算法以及概率模擬方法等優化算法能夠更加高效、準確的實現多響應優化。朱飛宇[41]通過構建BP神經網絡模型，實現了響應優化問題到非線性規劃問題的轉變，進而通過次序二次規劃算法進行計算，得到優化結果。張流洋[42]利用混合遺傳算法對通過MSN與RSM相結合構建了綜合期望損失函數進行優化。汪建均[43]在貝葉斯統計建模的基礎上，利用蒙特卡洛模擬方法和混合遺傳算法進行計算優化。馮澤彪[44]利用MAP和聚類分析方法實現參數的全局優化。

3? 穩健參數設計發展趨勢

通過對現有研究的總結和梳理，發現當前穩健參數設計應用領域廣泛，如機械、航天航空、生物化工等，經過幾十年的發展，其研究也更加深化、科學。由于質量的優劣對于一個產品的影響是非常大的，因此穩健參數設計的研究也會得到不斷地發展，通過整理總結主要研究方向有如下三點：①不確定性的研究：在進行穩健參數設計時，往往存在模型、參數或者其他信息的不確定性，在實際測量中往往無法獲取某些信息，因此對于不確定形的研究是非常有必要的;②全局研究優化：以往的參數設計往往無法對過程進行全局優化，某一部分的最優無法代表整個體系的最優，因此，當前多數研究都在傳統穩健參數設計的基礎上結合計算機技術，最終實現全局優化;③穩健性研究：穩健參數設計的最終目標就是實現最優性和穩健性，在多數已有的研究中往往只尋求的部分的最優解，而忽略了對穩健性的研究。

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