高等數學系統化教學之我見

彭小飛

摘要：本文結合實踐教學經驗，分析和探討了在高等數學教學中實施系統化教學的重要性和可行性，給出了如何實施系統化教學的具體措施。實踐證明：實施高等數學系統化教學有利于提高學生的學習興趣和對知識的系統化掌握，能更好地培養學生的數學思維習慣和用數學知識解決實際問題的能力。

關鍵詞：系統化教學；知識結構體系；教學目標；自學能力

中圖分類號：G420 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2019）24-0161-03

高等數學是高等院校理工科各專業的一門重要基礎理論課程，是學生學習大學其他數學課程或專業課程的基礎，同時也是解決實際問題重要的應用工具。因此這門課程擔負著傳授知識和提高學生用數學思維分析和解決實際問題等能力的重任。高等數學雖以系統、完備而著稱，但由于其知識點多、教學歷時長，容易讓學生有知識點零碎易混淆而難以掌握之感。為此，許多學者分別從專業需求[1-2]、新課標理念[3]、高等數學與初等數學的銜接[4]、其他教學改革[5-7]等不同視角對高等數學教學進行了探討。為了進一步去除學生對學習高等數學的畏懼感，提高學生學習這門課程的興趣，本文將探討高等數學課程的結構化系統性教與學，為學生建立相對完整的數學邏輯思維打下基礎，倡導學以致用的數學應用觀，并以此促進、引導、啟迪具有數學天賦和潛力的學生進步上行?；诮浀浣滩腫8]，下面擬從課前、課堂、課后這三個環節分析和探討如何對高等數學實施系統化教學。

一、教師課前對課程的系統化把握，是實施系統化教學的前提和基礎

對任何一門學科來說，“授人以魚不如授人以漁”，這是學生由“學會”具體的知識到習得方法抵達“會學”境界的質的飛越，培養的是學生的學習習慣和素養。盡管如何成功“授漁”因學科而異，但其共性為：教師對相應課程的系統化把握，是基礎和前提。對高等數學課程的系統化把握，可從以下兩方面著手。

1.教師對各具體知識點的系統化過程。首先，教師需要充分了解高等數學和現行中學教學的初等數學在內容上的承接關系，對重疊知識點，區分兩者在教學要求、思維層次方面的差異，以便在高等數學的教學中進一步深化和完善初等數學的相關內容。其次，教師在課程開始前，有必要對高等數學各知識點的內在聯系和本質特征有總體把握，以此形成有效教學的知識結構體系，表1是筆者所整理并應用于最近幾年教學的知識結構體系。此外，各教學內容間的關聯性非常重要，只有深入理解了知識間的聯系，將看似零散的知識點有機地關聯起來，才能構建有序清晰的知識體系，詳見表2。

2.制定切實可行的教學目標，并系統有序地實現目標，以下是筆者給出的關于高等數學系統化教學需要逐步實現的目標層次。

（1）通過高等數學的各個教學環節逐步提高學生的數學素養（抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力）是基本要求——第一層次的目標。

（2）在教學中逐步培養學生的自學能力，在自學能力的培養中提升學生的創新能力——第二層次的目標。

（3）綜合運用微積分知識去分析問題和解決問題的能力——第三層次的目標。

（4）在本課程的教學中，自然地注入數學史，教書的同時不失時機地育人——第四層次的目標。

二、課堂注重知識的系統化教學和能力的系統化培養，是實施系統化教學的關鍵所在

進入大學后，對學生學習的主動性有了更高的要求，中學時代應試環境下的被動學習不再適應高等數學課程的學習。因此，課堂上，如何實施系統化教學，培養積極主動的學習習慣，并促成學生自學能力和創新能力的提高，成為一個迫切需要解決的關鍵問題。下面給出幾點建議。

1.教師上好高等數學的第一堂課，激發學生學習高等數學的興趣，是培養學生養成主動學習習慣的首要問題。依據筆者近幾年的教學實踐，第一堂課里，承載著三個任務：

★ 對高等數學和初等數學的研究內容進行有效銜接。

★ 強調高等數學的學習不僅僅是數學素養和思維能力的培養，而且是學生學習后續的其他數學課程及相關專業課程的基礎，并指出哪些知識點直接關聯到哪些專業課程的學習。

★ 幫助學生構建高等數學的體系，讓學生對高等數學這門課程的學習有脈絡清晰的體系感。筆者通常會在第一次課給學生分析高等數學課程的知識結構（見表1），給出知識點間的關聯性（見表2），引導學生以自己的方式構建課程的“結構樹”。鼓勵學生構建各具特色的主干；以后則隨著具體知識的教學，引導學生學會將各個新的知識點安排至“結構樹”的枝椏或者葉子上。

2.教學中盡可能以案例導入，讓學生了解高等數學所研究的微積分具有很強的應用背景，同時注重理論在實際問題中的應用。這種基于實際問題背景，深入學習和理解微積分的思想方法和理論后，再回歸實際問題求解的教學方式，讓學生了解到高等數學知識的來龍去脈和重要性，更利于激發學生的好奇心和求知欲。

3.課堂教學中及時化解難度，注重知識和思維的循序漸進，由易到難，潛移默化中幫助學生完成知識點由具體到抽象的過渡，讓學生慢慢體會到高等數學與初等數學的重要不同在于：前者是在變化中考察各個量之間的關系，沒有變化就沒有微積分。

4.創新源于問題導向的發現，因此培養學生發現問題和引導學生提出好的問題，是課堂教學中最有特色也是最不容忽視的環節。筆者的做法是：在每個知識點的教學中，預留時間給學生提問，并鼓勵其余學生討論和直接解答問題，及時肯定勇于提問并積極參與問題討論的學生。學生學會學習和積極提問的過程，事實上直接培養了學生的自學能力和創新潛質。這是實現課程教學目標最重要的兩種能力。

三、學生的課前預習和課后復習，是實施系統化教學的重要環節

除了課堂教學中積極思考和提問外，培養學生課前預習和課后復習的習慣，是高等數學課程系統化教學的重要環節。關于如何高效地預習和復習，筆者的建議是：

1.注重思維優先，以問題為導向去預習，認真閱讀課本，將自己視為作者，從作者的角度考慮教學內容編排的合理性和例題設置的梯度性，敢于質疑書本，鼓勵學生帶著問題進課堂，以此培養學生發現問題的能力，逐步提高自學能力。

2.高等數學課程的復習，絕對不是知識的簡單回憶和再現，而是思維再創造并形成自己完整的知識體系的過程。這需要注意復習的方式和時間節點。前者要求復習時注意知識間的關聯性，能串聯相關知識點至融會貫通，回顧預習中的疑問是否已一一解答。此外，高等數學課程的系統化復習里，新課結束當天布置給學生一個重要任務就是：用五分鐘左右的時間回顧新課內容，并迅速將相應知識點放置到屬于自己的知識結構樹上。事實上，這種五分鐘總結鍛煉了學生的歸類概括能力，這也是系統化復習的基本要求。關于復習的時間節點，著名的“艾賓浩斯遺忘曲線”已經揭示出遺忘的規律是先快后慢，因此新課結束后兩天內復習有事半功倍之效。

總之，近六年的高等數學系統化教學實踐經驗證明：實施系統化教學，有助于學生對知識點本質的理解和牢固掌握，激發學生的學習興趣。隨著越來越多的學生敢于提問勇于對書本和老師提出質疑，他們更自信學習更主動了。而隨著自學能力和分析解決問題能力的提高，學生的創新潛質被進一步激發，這門課程的教學目標也在教學過程中逐步實現。必須指出，本文僅從筆者自身教學的角度給出了關于高等數學系統化教學的一些探討。事實上，這門課程的系統化教學是一個相對龐大的工程，需要高等數學課程團隊、學生所在學院、學生三方面的通力合作才能取得最佳的教學效果。目前，筆者所在的教學團隊已初步建設了在線的高等數學同步實驗課程和習題講解課程，正嘗試著配合理論教學課程，應用于2018級理工本科專業高等數學課程的教學中。關于如何更高效地推進高等數學課程的系統化建設，有待于進一步深入研究。

參考文獻：

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