從向量的坐標化策略談起

王洪蓮

摘要：高中數學的課堂教學中，時常需要安排一些習題課。本文從向量的坐標化策略入手，通過課程設計的過程，闡述針對初接觸高中數學的學生，設計習題課的橫向與縱向思考角度。

關鍵詞：向量坐標化策略;建系;轉化與劃歸

平面向量，作為有向線段而言，涉及到的問題主要還是幾何圖形中的線段長度、夾角大小、圖形面積等問題。所以，向量問題的解決策略之一還在于基底化向量。

整個高中知識中，與坐標相關的除了解析幾何方面，還有空間向量。這兩個方面，對于建立恰當的坐標系與坐標運算都有一定的要求。設計一節習題課，讓學生初識坐標法，體會解決問題的幾個過程。而通過數學建模，把向量問題轉化為函數問題，求解其中的最值，又是讓學生體驗數學建模過程的一個很好的經歷。

這節課，我決定把課堂內容設定為：兩種策略對照----合理建系探究----常見點坐標處理----引入變量，建立數學模型----嘗試應用這樣幾個過程。

一、策略對照，引入課題

在日常教學中我多注重對學生的邏輯表達進行培訓。鼓勵他們主動到講臺上講解自己的思路。這樣的過程會讓學生在表達的過程中逐步清晰思路，同時也學習一類問題的思考方向。這次我依然準備設計兩個作業題目，其作用首先是通過作業中基底化方法解決問題，允許學生進一步思考其他方法，從而在比較中引出坐標化向量這一策略。另外，可以通過兩個策略的比較，分析每一種策略更適合哪類問題。第二個作業題一方面是完成基底化講析，更重要的是在策略分析結束之后，返回來應用新策略解題，從而進一步體會兩種策略的對比。

把向量來作為基底，基底化向量，可以計算得出結論。考慮到向量之間互相垂直關系，引導學生聯想到直角坐標系。設計幾個設問問題：你準備怎樣建立直角坐標系？其中關鍵點的坐標分別是什么？你覺得這樣坐標化向量解決問題，需要哪些過程？

已知條件中給出的模長與夾角，以這兩個向量作為基底，比較容易進行計算。

二、觀察判斷，合理建系

在這一部分設計中，我想讓學生形成一定的常規認識，了解針對圖形特征怎樣建立直角坐標系比較合理，有助于計算。初期設計四個問題，其中包括已經存在垂直關系，尋找垂直關系，多位置建系選擇，高頻點作為坐標原點的選擇方式。斟酌之后，發現引例特別適合作為垂直關系的說明，于是引例1又有了另一個作用，提示學生建系選擇在A點的原因。此間設計了余下的三個問題，實際操作過程中發現學生把專注力轉移到了對問題的計算中來，沖淡了對建系合理性判斷的探討。所以我在其中提出一個要求：根據已知條件分析建系方法，并且驗證自己的合理性，不需要計算最后結果。

在這個三角形中，有D和B兩個點是學生常選作原點的位置，引導學生針對這兩個點作為原點的區別進行分析。其合理性分別在于D點作為原點，則多個點都位于坐標軸上，而B作為坐標原點，則題目中所有與B相關的向量坐標與終點坐標相同。學生可以通過計算點的坐標分析其中的合理性。同時，也提示學生，觀察每一個相關點的坐標求解是否可行可以作為建系方式是否恰當的一個判斷依據。

這是一個相似模型，學生容易想到找中點去建立直角坐標系。但是，在求點和向量的坐標時候，又會看到幾個向量的坐標求解并不是十分方便。進而轉移到以C為坐標原點建立坐標系。因為C在題目中屬于高頻點，作為原點易于計算，這也可以作為建系的一個合理性標準。

綜上，可以得到幾個常見建系合理性判斷標準：依據已經存在的垂直關系;尋找隱藏的垂直關系;把大多數點放在坐標軸上;把出現高頻點作為坐標原點。

建系及相關點的坐標解決了之后，把對引例2的坐標化在此處回歸求解。學生已經可以對問題進行建系、寫點、求值幾個簡單過程進行分析求解。這個問題可以針對A與D作為坐標原點的異同進行分析，引發討論，拓寬學生的視野。

三、引入變量，轉化問題

在建立直角坐標系之后，仍然會有問題對學生造成困擾，比如引入什么樣的變量比較適合。

首先就是圓上點的變量引入方法。

探究小問：圓心在原點O的單位圓上一點A，點M，求的取值范圍.

在這個問題中，坐標系已經存在，不需要建立坐標系。而點A的坐標如何設，就涉及到后面要求的問題取值范圍能否順利求解。設A（x，y），其中存在關系式，其中含有x、y兩個變量，這在后面求解取值范圍的時候是學生不很熟悉的范疇。聯想到三角函數的定義，在定義中有角的終邊與單位圓的交點表示方法（）。把要求的向量模長問題轉化為求三角函數的值域問題就比較為學生所知了。設計這樣一個小問題，來探討引入角作為變量求解取值范圍時候的優勢所在，讓學生在沒有學習參數方程知識的時候，對引入角變量有一個初識，這也為后面的最值求解埋下一個伏筆。

通過這個問題的求解，使學生初步體會數學建模的一般過程。

課程小結：坐標化向量策略適合于那些問題？坐標化與基底化在方法上各有哪些優勢？

本節課學習過程中，應用了哪些數學方法？涉及到哪些思想？

關于數學習題課的設計，我有幾點反思。其一，層層遞進，讓學生夠得著，有的想。盡量避免把初等數學高深化。其二，為學生設計討論與思考的內容，引導學生成為主體。其三，習題課注重知識點上的瞻前顧后。淺嘗輒止的安排一些即將學習到的知識，在這樣一些習題中解決掉后續問題中的某一些難點，這將會給學生很多時間進行消化，也在接受新知識的時候沒有陌生感。

高中數學的學習是一個潛移默化、螺旋遞進的過程。進行數學教學多年之后，慢慢的發現，課堂教學不需要很深刻的理論，而更加需要從學生的認知出發，站在學生角度共同學習探究。

參考文獻：

[1]洪麗敏.平面向量解題的兩大策略[J].數學教學研究，2011，30（12）：34-36.

[2]董成勇.高中生學習空間向量的困難和相應的教學策略[D].華東師范大學，2007.