單側檢驗的一個邏輯嚴密問題研究

俞雪梨

摘要：假設檢驗有雙側檢驗和單側檢驗之分，實際應用的過程中，通常把假設檢驗的實施流程化，而沒有去深究實施流程邏輯上的嚴密性。文章研究了單側檢驗中的這個邏輯問題，使得單側檢驗的實施流程更加嚴密。

關鍵詞：假設檢驗；單側檢驗；邏輯嚴密

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2019）31-0195-02

一、假設檢驗的基本流程

高等金融類院校和工科院校均開設了“統計學”這門核心課程，其中假設檢驗由于廣泛應用于金融、生物技術、教育學、心理學等多個領域，因而備受重視，與此同時，該部分內容涉及比較深的統計思想，因而也是教學中的難點。為了降低學生學習的難度，在教學過程中，通常把假設檢驗的流程程序化和步驟化，一般總結為以下幾個步驟。

第一步：提出原假設H和備擇假設H；第二步：確定檢驗統計量；第三步：根據顯著性水平，確定拒絕域；第四步：計算檢驗統計量的實現值；第五步：驗證第四步檢驗統計量的實現值是否掉入拒絕域，得出結論。

下面用一個例子來說明這五個步驟的實施。

例1：某大學所有學生都擁有手機，一年前，所有學生每月的手機話費支出的均值為100元。一年之后的現在，從該校所有學生中隨機抽取100名同學進行調查，發現他們每月的手機話費支出的均值為110元，標準差為30元。據此，在顯著性水平為α=0.05下能否認為所有學生每月的手機話費均值已不同于一年以前？

解：第一步：依題意，如果用μ代表現在所有學生每月話費的均值，一年前話費均值μ=100元，原假設為H：μ=μ=100，備擇假設是原假設的對立面，即為H：μ≠100元。第二步：考慮到總體標準差σ未知，并且樣本容量很大，使用z=N（0，1）作為檢驗統計量。第三步：當X的值太大或者太小，與檢驗值100差距很大時，是小概率事件，此時檢驗統計量

Z=～N（0，1）將會是一個很小的負數或是一個很大的正數，結合顯著性水平α=0.05，說明這兩塊區域的面積加起來要等于0.05，查正態分布的分位數表可得，右邊的分位點為1.96，由于對稱性，左邊的分位點為-1.96，即拒絕域為z>1.96或z<-1.96（如圖1）。第四步：將樣本數據及原假設成立時μ=μ=100代入計算檢驗統計量的實現值，得z===

3.33。第五步：由于3.33>1.96，掉入右側拒絕域，因此拒絕原假設H，認為現在該校所有學生每月話費的均值已不同于一年以前的100元。

二、單側檢驗中存在的問題

例2：在例1中，抽取到的這100名學生每月的手機話費支出的均值為110元，比一年前所有學生每月手機話費均值100元是有所提高的，一個很自然的問題是，在顯著性水平為α=0.05下，能否認為所有學生每月的手機話費均值比一年以前有顯著的提高？

解：第一步：顯然這是屬于單側假設檢驗問題，原假設為H：μ≤100元，備擇假設為H：μ>100元。第二步，檢驗統計量仍然為z=N（0，1）。第三步：原假設是H：μ≤100，樣本均值反映了總體均值的真實情況，當的值太大，比檢驗值100大很多時，是在原假設成立時不太可能發生的小概率事件，此時依據小概率原理，我們將得出拒絕原假設的結論。因此拒絕域只在右邊，考慮到顯著性水平為0.05，查表得臨界值為1.6449，拒絕域為z>1.6449。第四步：代入計算得檢驗統計量的實現值z===3.33。第五步：由于3.33>1.6449，掉入拒絕域，拒絕原假設H，即可以認為現在該校所有同學每月話費的均值比一年以前的100元有顯著的提高。

大家在使用上述步驟時，幾乎是“天經地義”，沒有誰去質疑它的邏輯嚴密性。問題出在哪里呢？在第四步中，在原假設成立的時候，計算檢驗統計量的實現值，為什么代入μ=μ=100進行計算呢？事實上，原假設μ≤100中μ不僅可以等于100，還可能是≤100的任何一個值。為什么只需要代入端點值μ=100進行判斷就可以了呢？

三、單側檢驗中邏輯問題的解決

事實上，在做假設檢驗時，把需要收集證據驗證的假設放在備擇假設的位置上，要求在得出備擇假設是對的結論（即拒絕原假設）時，要有足夠的證據（小概率事件發生了）。由于檢驗統計量z=是一個關于μ的遞減函數，因此當μ=μ=100算出的檢驗統計量大于拒絕域，從而得出拒絕原假設的結論時，把μ<100代入計算得到的檢驗統計量將更大，就一定會掉入拒絕域中，同樣能夠保證拒絕原假設時證據的充分性。因此，在進行單側檢驗的時候，計算檢驗統計量的實現值時只需把端點的值代入計算。

因為pπ<<π，pπ0，因而Z′（π）<0，因此Z（π）是一個單調遞減函數，這就保證了在總體比例的單側檢驗中，假設檢驗流程的第四步，可以使用原假設的臨界點代入計算檢驗統計量的實現值。

參考文獻：

[1]叢凌博.假設檢驗的啟發式教學方法研究[J].價值工程，2012，（6）：273.