活躍在各級考題中的三角形三正切公式

甘肅

本文以一道省級數學聯賽試題為例，通過對不同解法的比較，揭示了試題命制的背景，以三正切公式為載體的內在關聯.并且通過在不同的競賽試題中的應用，進一步表明了三正切公式是各級競賽試題中聯系三角和代數之間的重要橋梁和紐帶.

題目(2018·全國高中數學聯賽(吉林)預賽·6)設x>0，y>0，z>0，滿足x+y=xy，x+y+z=xyz，則z的取值范圍是

( )

分析這是一道有限制條件下的多元函數的最值問題，多元函數的變量多，式子復雜，其解決方法主要是消元法，將其轉化為一元函數的最值問題，然后運用函數的思想或者基本不等式來解決.

解法1 整體消元法

由x+y=xy，x+y+z=xyz得xy+z=xyz，

解法2 代入消元法

注意到題設限制條件x>0，y>0，z>0，且x+y+z=xyz的結構特點，結合在斜三角形中三個內角滿足tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，可以做三角代換.如解法3所示.

解法3 三正切公式

在銳角三角形ABC中，令x=tanA，y=tanB，z=tanC，

則tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，

又由x+y=xy得tanA+tanB=tanAtanB，

所以tanAtanB≥4，(1)

評析多元問題的解決方案主要是消元，但本題根據已知條件的結構特點，轉化為銳角三角形中的有關問題，這正是這道多元函數最值試題命制的背景，三個變量之間的相互制約的關系實際上是銳角三角形三個內角正切值之間的聯系.用三角代換解答該問題，不落俗套，令人耳目一新.

在解法3中，根據試題特點，用到了斜三角形三個內角的正切函數之間滿足的一個恒等式，即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，這是蘇教版必修4P104例4的結論，實際上是在任意非直角三角形中和角正切公式的變形，由于含有三角形三個內角的正切函數，且為了下面行文方便，不妨稱之為三角形的三正切公式，以這個三角恒等式為背景命制的試題活躍在近年各級考試當中，尤其受到各級競賽命題者的青睞.

1 恒等式的證明

因為在斜三角形ABC中，tanA,tanB,tanC都有意義，

tanA+tanB=-tanC(1-tanAtanB)，

移項整理得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

推論當A+B+C=kπ(k∈Z)，且tanA，tanB，tanC有意義時，始終有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

tanA+tanB=-tanC(1-tanAtanB)，

移項整理得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

2 直接考查三正切公式

例1(2017·全國高中數學聯賽(河北)預賽·10)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，有等式lntanA+lntanC=2lntanB.

(1)求證tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；

解：(1)證明過程略；

(2)由已知條件，tanA>0，tanB>0，且tanC>0，△ABC為銳角三角形.

評析本題第(1)問直接考查了三正切公式的證明，第(2)問根據已知條件，運用三正切公式結合三元均值不等式求出了角B，進而轉化成了一個三角形中的定角對定邊問題的變化試題.

3 直接應用三正切公式

例2(2016·江蘇卷·14)在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC.則tanAtanBtanC的最小值是________.

解：因為sinA=2sinBsinC，所以sin(B+C)=2sinBsinC，

展開得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，

兩邊同除以cosBcosC得tanB+tanC=2tanBtanC，

(當且僅當tanA=2tanBtanC時，取“=”)，

所以tanAtanBtanC的最小值是8.

例3(2018·江蘇宿遷市高三第一學期期中考試·14)在銳角△ABC中，9tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA的最小值為________.

解：在△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，兩邊同除以tanC得

9tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA

=25.

解：在△ABC中，由sin2A+sin2C=2 018sin2B得a2+c2=2 018b2，

4 構造三正切公式

因為H是△ABC的垂心，所以a·b=a·c=b·c，

cos∠AHB=cos

也可根據三角形垂心的特點，構造三正切公式，轉化為三角問題，如解法2所示.

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，

評注解法2依據三角形的垂心滿足的特點，構造出該題滿足三正切公式所需條件，把一個較為復雜的向量問題，轉化為三角問題，從而簡化了運算.

分析左邊是三個分式的和，右邊是與左邊相同的三個分式的積，符合三正切公式的特點，另外，三個分式都符合兩角差的正切公式，從而明確本題證明方向為三角代換.

證明：令a=tanA，b=tanB，c=tanC，

tan(C-A)，

且(A-B)+(B-C)+(C-A)=0·π，

所以根據推論得，tan(A-B)+tan(B-C)+tan(C-A)=tan(A-B)·tan(B-C)·tan(C-A)，

評注本題的證明依據推論，要驗證(A-B)+(B-C)+(C-A)=0·π.

5 其他應用

根據正弦定理得sinAcosB=4sinBcosA，

即4tanB=tanA.

又tanC=-tan(A+B)

在斜三角形中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，

6 解題感悟

從解題的角度來看，將三角形式的題目轉化為代數問題，解答方法就豐富起來，而把代數問題轉化為三角問題，可以利用三正切公式，使解答變得方便快捷，三正切公式是把解三角形中的有關問題與代數問題聯系起來的紐帶之一.

從命題的角度來看，根據試題結構特點，對于本文開頭題目可以改編成一個純粹的三角問題：在銳角三角形ABC中，若tanA+tanB=tanAtanB，求tanC的取值范圍.而對2016江蘇高考第14題這個三角試題，也可以改編為一個純粹的代數試題：設x>0，y>0，z>0，滿足x+y+z=xyz，x=2yz，則xyz的最小值為________.經過改編，前者條件明確，具有了高考試題的特點，后者條件隱晦，具有了競賽試題的特點，這種改編，體現了高考試題和競賽試題之間的轉化，也體現了數學不同章節之間的聯系，使得解答方法多樣化，揭示了試題隱含的背景，這也許是三正切公式在各級競賽中頻繁出現的一個原因.