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——導數在三角函數中的應用舉例

四川

在近幾年高考數學試題中,筆者總結發現涉及三角函數這一板塊的考查常見的有函數的極(最)值、三角函數的單調性、三角函數的單調區間、三角函數的恒成立、三角函數的圖象判斷和曲線的切線斜率等問題，若從導數這一角度去處理將給我們帶來不一樣的驚喜.本文通過近幾年高考題或模擬試題來說明導數在三角函數中的應用,以饗讀者.

一、有關極值點

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A.(-∞,-6)∪(6,+∞) B.(-∞,-4)∪(4,+∞)

C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

【評注】利用導數研究極值，極值點是關鍵.由極值點的性質可得到函數在極值點的導數值為0，建立等式關系，從而將x0轉化為m的表達式,進一步用不等式進行求解.當然要留意導函數為0的點不一定是極值點.

二、有關圖象

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A

B

C

D

【評注】利用導函數來判斷函數的圖象，不僅要看函數的奇偶性，還要看函數的一些局部性質，如根據局部點的切線斜率的正負即導函數的正負來判斷單調性等，尤其在同一區間內導函數的絕對值越大，則圖象越陡，這也是判斷圖象之間區別的一個細微之處.

三、關于零點

【例3】設函數f(x)=aex-2sinx,x∈[0,π]，有且僅有一個零點，則實數a的值為

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【解析】因為函數f(x)=aex-2sinx,x∈[0,π]，有且僅有一個零點，

【評注】利用導數研究函數的零點問題，實際是轉化為研究函數的圖象與x軸交點問題，常常先將函數與方程進行轉化，其中常使用分離變量法構造函數，進一步轉化為求兩函數圖象的交點問題，利用導數研究單調性、極值或最值，畫出兩個函數圖象，再進一步研究兩圖象交點問題.其中參變分離有時易于減少討論，使用頻率較高.

四、求參數范圍

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【評注】函數在某區間的單調性是通過導數轉化為不等式恒成立的問題，其中在函數的遞增區間,導函數恒大于等于零；在函數的遞減區間,導函數恒小于等于零.

五、恒成立問題

【例5】已知函數f(x)=sin2x+2sin2x-1在區間[0,m]上單調遞增，則m的最大值是

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【評注】本題主要考查三角函數單調區間的求解，利用導數及三角函數的圖象和性質是解決本題的關鍵，同樣是將單調性轉化為不等式恒成立問題.

六、解不等式

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【評注】解這類不等式的關鍵點在于構造合適的函數，構造函數時往往從兩方面著手：①根據導函數的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據選項的共性歸納構造恰當的函數，結合導數轉化為不等式問題求解.

七、有關切線問題

【例7】(2017·山東卷理·20節選)已知函數f(x)=x2+2cosx，g(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)，其中e=2.718 28…是自然對數的底數.求曲線y=f(x)在點(π，f(π))處的切線方程.

【解析】由題意f(π)=π2-2又f′(x)=2x-2sinx，所以f′(π)=2π，

因此曲線y=f(x)在點(π，f(π))處的切線方程為y-(π2-2)=2π(x-π)，

即y=2πx-π2-2.

【評注】函數f(x)在點x0處的導數f′(x0)的幾何意義是曲線y=f(x)在點P(x0，y0)處的切線的斜率.相應地，切線方程為y-y0=f′(x0)(x-x0).注意：求曲線切線時，要分清在點P處的切線與過點P的切線的不同.

八、有關比較大小問題

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A.a

C.b

【解析】因為函數f(x)=3x+2cosx，所以導函數為f′(x)=3-2sinx，

可得f′(x)=3-2sinx>0在R上恒成立，所以f(x)在R上為增函數，

【評注】本題主要考查利用導數判斷函數的單調性，以及利用單調性比較函數值的大小.此類題型的主要思想是將幾個式子中的變量盡可能轉化到一個單調區間內，進而在單調區間內比較大小.

九、有關極值問題

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【評注】利用導數研究函數的極值主要是根據導函數為0轉化為方程求解.

十、有關切線傾斜角

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【評注】導數的幾何意義即切線的斜率，與切線的傾斜角密不可分，所以三角函數與導數常常聯系在一起，其中要注意正切函數只有單調增區間，以及周期性表達需完整.

十一、有關最值問題

【例11】(2018·全國卷Ⅰ理·16)已知函數f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是________.

【評注】在求解函數最值的過程中，需要明確相關函數的求導公式、導數的符號與函數的單調性的關系，確定出函數的單調遞增區間和單調遞減區間，進而求得函數的最小值點，從而求得相應的三角函數值，代入即求得函數的最小值.

十二、求導函數的值

【評注】求導函數的值主要是在求解的過程中明確相關函數的求導公式，如果原式較復雜，可通過恒等變形化簡再求導，尤其要注意復合函數的求導.

十三、求單調區間

【例13】(2014·湖南卷文·21節選)已知函數f(x)=xcosx-sinx+1(x>0).求f(x)的單調區間.

【解析】(Ⅰ)因為f(x)=xcosx-sinx+1(x>0),所以f′(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.由f′(x)=-xsinx=0解得x=kπ(k∈N*)，則函數f(x)的單調遞減區間為(2kπ,(2k+1)π)(k∈N*),單調遞增區間為((2k+1)·π,(2k+2)π)(k∈N*).

【評注】對函數f(x)求導得到導函數f′(x)(x>0),通過求f′(x)>0和f′(x)<0的解集分別得到函數單調遞減區間和單調遞增區間,但是必須注意正余弦函數的周期性和原函數的定義域(0,+∞).求三角函數的單調區間時尤其要注意周期性和表達式中k為整數.