高考?jí)狠S題的解題策略
——“以退為進(jìn)”

廣東

一、“以退為進(jìn)”的基本思路

常規(guī)的解題思路都是將結(jié)論等價(jià)轉(zhuǎn)化，對(duì)于很多“難題”，等價(jià)轉(zhuǎn)化往往很難實(shí)現(xiàn).我們可以弱化或強(qiáng)化條件、結(jié)論，再結(jié)合題目條件進(jìn)行改進(jìn)，獲得最終的結(jié)論.

通過(guò)強(qiáng)化或弱化條件、結(jié)論，表面上看離結(jié)論越來(lái)越遠(yuǎn)，而實(shí)質(zhì)上是為我們解題提供了更多的突破口.本文僅以導(dǎo)數(shù)類的壓軸題為例，向讀者說(shuō)明此類試題的解題策略和答題技巧.

二、例題展示

例1(2018·全國(guó)卷Ⅱ·理11文12)已知f(x)是定義域?yàn)?-∞,+∞)的奇函數(shù)，滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=

( )

A.-50 B.0

C.2 D.50

分析：該題考查函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性以及周期性.利用常規(guī)方法求解也并不復(fù)雜.但如果我們強(qiáng)化條件，卻可“秒殺”該問(wèn)題.

總結(jié)：通過(guò)強(qiáng)化條件所得的結(jié)論為答案的充分條件，為了驗(yàn)證答案的正確性還需要說(shuō)明其必要性.作為選擇題，利用答案的唯一性即可驗(yàn)證答案的正確性.

例2已知函數(shù)f(x)=ln(x2+a)-x-lna(a>0).

(Ⅱ)設(shè)集合A=[1,+∞)，集合B為使f(x)<0在(0,+∞)上恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍.求證：集合A是集合B的真子集.

分析：該題的第(Ⅰ)問(wèn)屬于常規(guī)問(wèn)題，第(Ⅱ)問(wèn)的本質(zhì)是求解集合B，但對(duì)該范圍的求解涉及超越方程的求解，所以該題的出題方式向?qū)W生展示了解決該類問(wèn)題的一般思考方向，即在無(wú)法精確解出集合B的情況下，求解集合B的大致范圍，即集合B的一個(gè)真子集.

當(dāng)a≥1時(shí)，f′(x)≤0在R上恒成立，即f(x)在R上單調(diào)遞減.此時(shí)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)

上面的解答過(guò)程涉及構(gòu)造新函數(shù)、零點(diǎn)存在性定理等解題技巧，解答過(guò)程太復(fù)雜，學(xué)生很難掌握.我們可以退而求其次，當(dāng)a≥1時(shí)可得集合A是集合B的子集.若可證明當(dāng)0

反過(guò)來(lái)思考，上面兩種解法都是通過(guò)強(qiáng)化條件獲得了證明，常規(guī)解答強(qiáng)化得更多，但常規(guī)解答獲得的信息也更豐富.綜合比較起來(lái)，兩種方法各有優(yōu)劣，希望讀者仔細(xì)揣摩.

例3(2017·全國(guó)卷Ⅱ理·21節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0.求a.

分析：本題并不復(fù)雜，求解方法也較多，常通過(guò)構(gòu)造“切線”求解.本文接下來(lái)，通過(guò)加強(qiáng)條件f(x)≥0，獲得a的值，再驗(yàn)證a值正確性，即上文所提的“以退為進(jìn)”策略.

解析：f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).令g(x)=ax-a-lnx，則有f(x)=xg(x)，

則f(x)≥0等價(jià)于g(x)≥0.

綜上可知，a=1.

總結(jié)：由g(1)=0和g(x)≥0得g′(1)=0的依據(jù)是導(dǎo)數(shù)的定義及極限的保號(hào)性，證明如下：

根據(jù)上面的證明可知，條件g′(1)=0是條件g(1)=0且g(x)≥0的必要不充分條件.結(jié)合上面的分析可知，本題的解答過(guò)程本質(zhì)上是弱化了條件，所求結(jié)果的范圍大于結(jié)論的范圍，上面解答的后半段就是在驗(yàn)證其充分性.

所以h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，又因?yàn)閔(1)=0，所以h(x)≥0.即對(duì)應(yīng)的結(jié)論成立.

總結(jié)：此方法的精髓在于，先弱化題干條件，求得一個(gè)大致的范圍，再結(jié)合題干信息滿足題目要求.

通過(guò)本題的研究，我們可以獲得一個(gè)解決此類問(wèn)題的一般策略.此策略類似于不完全歸納法，即通過(guò)有限的信息猜測(cè)一般的結(jié)論，再驗(yàn)證結(jié)論的正確性.通過(guò)強(qiáng)化或弱化條件結(jié)論，可以找到解題的切入口.但要注意的是，通過(guò)此策略所得的答案與結(jié)論并不完全等價(jià)，還需要后續(xù)的檢驗(yàn)與調(diào)整.

三、練習(xí)

1.(2017·全國(guó)卷Ⅲ理·21節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.若f(x)≥0，求a的值.

答案：a=1.

提示：易知f(1)=0，且f(x)≥0，得f(x)min=f(1)，即可得f′(1)=0，代入導(dǎo)數(shù)公式即可得答案.

2.(2013·全國(guó)卷Ⅱ理·21節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).當(dāng)m≤2時(shí)，證明f(x)>0.

提示：f(x)>0等價(jià)于ex>ln(x+m).所求式要求m≤2，易知ln(x+m)ln(x+2)進(jìn)行證明.

答案：2.

4.已知函數(shù)f(x)=ex(x2+axcosx+1).若對(duì)?x∈[0,1]，都有f(x)≥2x+1恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值.