隨機變量及其分布問題的易錯題診斷及應對措施

山東

隨機變量及其分布從內容到方法都是比較獨特的.讓學生在學習時感到困難的是概念抽象，解題容易出錯，且出錯不容易被發現.而解題錯誤是在數學解題過程中形成的，是數學學習過程中的常見現象.因此，分析易錯題的類型、找出解題中的錯誤、研究改正錯誤的方法、從中吸取教訓是我們學好數學，提高數學素養的有效途徑.

一、未弄清表達式的意義

分析:條件中P(n)實際上是給出了分布列，隨機變量的取值是0,1,2,3,4,5，錯解在應用分布列時出現錯誤，漏掉隨機變量可取0的情況，造成求出P(0)大于1的結果.

二、未弄清隨機變量的意義

ξ123P2329227

分析:錯因是沒有明確隨機變量ξ的意義，ξ=1表示第一次試驗成功；ξ=2表示第一次失敗，第二次試驗成功；ξ=3表示前兩次均失敗，第三次試驗可能成功也可能失敗.在確定隨機變量的取值時，要找出關鍵詞，理解隨機變量ξ的意義，準確列出隨機變量ξ的所有可能的取值，并檢驗ξ=0是否符合題意.這些都是在解題時應該注意的.

ξ123P232919

三、忽視分布列的性質——概率非負

例3.已知離散型隨機變量X的分布列如下表所示，求常數c.

X01P9c2-c3-8c

四、忽視分布列的性質——概率和為1

例4.設離散型隨機變量X的可能取值為1,2,3,4，P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4).若X的數學期望E(X)=3，則a+b=________.

分析:上述解答只注意了數學期望，卻忽視了離散型隨機變量分布列的一個性質：p1+p2+…+pn=1，它的意義是全部試驗結果之和為必然事件.

五、忽略方差的作用

例5.從甲、乙兩位射擊運動員中選擇一位參加比賽，現統計了兩位運動員在訓練中命中環數X，Y的分布列如下：

X8910P0.40.20.4

Y8910P0.10.80.1

試問從成績上來看派誰去比較好？

錯解:根據題意，得E(X)=8×0.4+9×0.2+10×0.4=9，E(Y)=8×0.1+9×0.8+10×0.1=9，因為E(X)=E(Y)，所以派誰去都一樣.

分析:以上解答誤認為只用均值就可以做出判斷，忽視了其穩定性.此類問題一般要用方差，方差作為離散型隨機變量的一個重要數字特征，刻畫了隨機變量取值的穩定與波動、集中與離散的程度.

正解:根據題意，得E(X)=9，E(Y)=9，D(X)=(8-9)2×0.4+(9-9)2×0.2+(10-9)2×0.4=0.8，D(Y)=(8-9)2×0.1+(9-9)2×0.8+(10-9)2×0.1=0.2.所以均值相同的情況下，還是派乙去比較好，因為乙的成績比較穩定.

六、混淆P(B|A)與P(AB)的意義

例6.袋中有6個黃色、4個白色的乒乓球，如果不放回地依次抽取2個球，求：

(1)第二次才取到黃色球的概率；

(2)其中一個是黃色，另一個也是黃色的概率.

分析:錯解沒有弄清楚P(AB)與P(B|A)的意義，P(AB)表示事件A與事件B同時發生的概率，而P(B|A)表示在事件A發生的條件下事件B發生的概率.解此類問題時，要先確定是哪種概率類型，然后選擇相應的公式解決.

七、審題不細、考慮不周

例7.袋中有8個白球，2個黑球，從中隨機地連續取3次球，每次取1個，求取到黑球的個數X的均值.

X012P715715115

分析:根據題意，有兩種情況：放回抽樣與不放回抽樣.由于放回抽樣時，總體個數不發生變化，不放回抽樣的時候，總體個數減少，因此，結論不一樣.

正解:根據題意，分兩種情況討論：

八、混淆互斥與相互獨立

例8.某課程考核分理論與實驗兩部分進行，每部分的考核成績只有“合格”與“不合格”，兩部分考核都“合格”，則該課程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為0.9，0.8，0.7；在實驗考核中合格的概率分別為0.8，0.7，0.9.所有考核是否合格相互之間沒有影響.

(1)求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率；

(2)求三人該課程考核都合格的概率.(結果保留三位小數)

所以甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率為0.398.

(2)記“三人該課程考核都合格”為事件D，則P(D)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.9×0.8×0.7=0.504.

所以這三人該課程考核都合格的概率為0.504.

分析:本題將隨機事件拆分成若干個互斥事件的和，再把每個事件分成若干個相互獨立事件的和進行解答時，混淆了互斥事件與相互獨立事件，從而造成拆分錯誤.解決概率類綜合題，首先要注意把一個“大的隨機事件”拆成若干個“小的、互斥的隨機事件的和”，再把每個“小的隨機事件”分成若干個相互獨立的事件的乘積.在解決過程中要做到分類時“不重不漏”，分步時“過程完整”.

所以甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率為0.902.

(2)記“三人該課程考核都合格”為事件D，則P(D)=P[(A1B1)·(A2B2)·(A3B3)]=P(A1B1)·P(A2B2)·P(A3B3)=0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9≈0.254.

九、未弄清分布密度曲線的分布規律

例9.設在一次數學考試中，某班學生的分數X～N(110,202)，且知滿分為150分，這個班共54人，求這個班在這次數學考試中130分以上的人數.

分析:上述解法的錯因是按“比例”來分配概率，忽視正態分布密度曲線的分布規律“中間大，兩頭小”.本題可應用正態分布密度函數的對稱性解決.

十、選擇“模型”錯誤

例10.甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6道題，乙能答對其中的8道題.規定每次考試都從備選題中隨機抽出3道題目進行測試，至少答對2道題才算合格.求甲答對試題數ξ的概率分布列及數學期望.

ξ0123P8125361255412527125

分析:根據題意從備選題中隨機抽取3道題進行測試，答對是不放回的，所以不是獨立重復試驗，因而上面的分布不是隨機變量的二項分布，而是隨機變量的超幾何分布，應該用求古典概型的方法求解.它們的主要區別在于“重復”與“不重復”.上述解答所求數學期望的結果雖然是正確的，但是解法是錯誤的.

ξ0123P1303101216