由一道以蒙日圓為背景的題目引發(fā)的思考

福建

1 題目

(1)求橢圓C的方程；

(2)設動直線l與橢圓C有且僅有一個公共點，且l與圓x2+y2=3相交于不在坐標軸上的兩點P1,P2，求證：kOP1·kOP2為定值.

1.1思路點撥：(1)略；

(2)直線與圓錐曲線相交、相切問題，通常是設直線方程(注意討論斜率是否存在)，并把它與圓錐曲線方程聯(lián)立，根據(jù)判別式、韋達定理尋求關系，進而達到解題的目的.

1.2簡要解析：

當直線l的斜率存在時，設l的方程為y=kx+m，

2 探究一般性結論

當直線l的斜率存在時，設l的方程為y=kx+m，

因為直線l與橢圓C有且僅有一個公共點，所以Δ=(2kma2)2-4(b2+a2k2)(a2m2-a2b2)=0，

即m2=a2k2+b2，

把m2=a2k2+b2帶入上式得

2.2一般性結論

3 探究命題背景

3.1蒙日圓概念

在橢圓中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢圓中心，半徑等于長、短半軸平方和的算術平方根，這個圓就是蒙日圓.用符號語言表示為:

3.2兩個引理

4 結論再推廣

結論3：若動直線l與圓x2+y2=a2(a>0)有且僅有一個公共點，且l與圓x2+y2=2a2相交于不在坐標軸上的兩點P1,P2，則kOP1·kOP2=-1.

為了體現(xiàn)數(shù)學的統(tǒng)一美與和諧美，可把上述三個結論歸結為：

說明：用換元法，在結論1中，用-b2替換b2，即可得到結論2；用a2替換b2，即可得到結論3.具體的證明過程，請讀者參照定理1自行推理論證.

5 試題再探究

5.1逆向結論

事實上，這三個結論的逆命題也是成立的，請讀者自行證明.

逆向結論3：若動直線l與圓x2+y2=2a2(a>0)相交于不在坐標軸上的兩點P1,P2，且kOP1·kOP2=-1，則l與圓x2+y2=a2有且僅有一個公共點.

5.2探究定值問題

在逆向結論1原有條件的基礎上，設OP1，OP2分別與橢圓交于點E、F.

5.2.1求證：△OEF的面積為定值.

思路點撥：先設出EF的直線方程，并與橢圓方程聯(lián)立，用韋達定理表示出xE+xF以及xE·xF，再用弦長公式表示出EF，用點到線的距離公式表示出高，即可求得面積.

5.2.2求證：OE2+OF2為定值.

5.2.3求證：橢圓上存在一點M，使得以M為圓心的圓與直線OE、OF都相切.