對一道橢圓試題的探究

安徽

數學作為高考的一門重要科目，無疑受到大家的普遍重視.老師與學生對數學都投入了大量時間，可有時事與愿違，收效甚微.考試后學生經常說“這道題我好像做過，但還是做不出來”；老師經常想“這道題，我上課講過，又布置過作業，學生怎么還是不會？”問題到底出在哪里呢？筆者認為，這很可能與平時的教學活動密不可分，老師的教與學生的學僅就題論題，對問題停留在知識、方法表象層次上，沒有挖掘，更沒有體會數學問題背后的“根”，以至于做再多的題目，也只是事倍功半.那問題如何解決呢？這里筆者以對一道橢圓試題的探究為例來拋磚引玉.

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

(Ⅱ)設M,N是橢圓E上關于x軸對稱的不同兩點，A(x1,0)，B(x2,0)為x軸上兩點，且x1x2=2，證明：直線MA,NB的交點P仍然在橢圓E上.

這里只對第(Ⅱ)題的解法進行探討.

解法1(通性通法，少思多算)：如圖所示，令M(s,t)，則N(s,-t).

=1

=右邊，

故方程成立，即直線MA,NB的交點P仍然在橢圓E上.

【點評】這里證明“直線MA,NB的交點P仍然在橢圓E上”，直接利用直線MA,NB的方程求出交點P的坐標，驗證坐標滿足橢圓E的方程.“思路很自然，運算有點繁”，計算過程中出現了4個未知數s,t,x1,x2，需要利用橢圓方程進行消元，利用已知條件x1x2=2化簡，最后還有3個未知數卻剛好可以整體消去，讓人覺得不可思議.那么計算可以簡化嗎？

解法2(構造轉化，多思少算)：題目中的條件“x1x2=2”的結構特征會讓你聯想起什么？在解法1中，直線MA,NB的方程結構會讓你有何想法？

令P(x0,y0)，由解法1知

【點評】本解法注意到已知條件“x1x2=2”的結構特征，利用韋達定理，進一步消元，使得計算量大大減小.但必須想到在兩直線方程兩邊分別平方，得到關于x1,x2的一元二次方程，再次利用“同構原理”得到關于x的一元二次方程才能解決問題，做到這點確實有一定難度，同時也體現了方程思想.那么不平方可以嗎？

解法3(大道至簡，深思妙算)：要證明P在橢圓E上，只需要證明什么？“M,N是橢圓E上關于x軸對稱的不同兩點”這個條件該如何利用？解法2的解題過程能給你什么啟發或方向？能否進一步優化解法？在解題中“美好的希望”往往就是化簡的方向.

令P(x0,y0)，M(s,t)，則N(s,-t).

【點評】本解法充分利用兩直線方程，兩邊分別相乘，出現“x1x2”的因式，從而整體代換，再利用橢圓方程進行消元，運算進一步簡化，也更容易操作.問題還能進一步拓展嗎？

探究1(拓展)：題目的條件為什么要假設x1x2=2，這個數字2與橢圓E中的相關參數有何關系？有何猜想？

追問：可以證明嗎？其逆命題是否成立？

證明：令P(x0,y0)，M(s,t)，則N(s,-t).

證明：令P(x0,y0)，M(s,t)，則N(s,-t).

化簡得x1x2=a2.

探究2(類比)：雙曲線是否有同樣的結論呢？可以證明嗎？

證明：如圖所示，令P(x0,y0)，M(s,t)，則N(s,-t).

證明：令P(x0,y0)，M(s,t)，則N(s,-t).

化簡得x1x2=a2.

在教學中，對每一個數學問題的解決可以多提出一些問題：

①所研究問題與以前的哪些問題相似，解決此類問題的基本思路是什么？

②解題的關鍵在哪里？是如何化歸的？

③本題是否有別的解法？有無更好的解法？

④哪一種方法最基礎、最典型？哪一種最簡便？哪一種最巧妙?

⑤解題結果是否正確？有無增、漏、錯解等情況？

⑥命題的逆命題是否成立？此命題能否進行變式、引申和拓展？

⑦解題中運用了哪些數學思想方法？以前是否運用過這些數學思想方法？有何聯系與區別？是否具有規律性？

通過對這些問題的思考與探究，有助于我們對問題的進一步認識，可能會有新的發現，新的收獲，給我們帶來驚喜.