割補法在三視圖還原空間幾何體中的應用

安徽

三視圖是高中新教材新增內容，也是高考的常考知識點.不難發現，由三視圖還原幾何體的試題常考不衰，且其載體的復雜程度呈增長之勢，特別是以簡單組合體為載體的試題備受命題專家青睞.雖然很多學生能將“長對正，高平齊，寬相等”爛記于心，也對簡單幾何體的三視圖了如指掌，但處理這類問題時仍力不從心，無法可解，甚至不少教師的講解和很多資料的答案往往是直接告知是什么幾何體，而不做詳細解釋.筆者經過深入研究，發現割補法(對三視圖進行分割或修補)不但能有效處理復雜的三視圖還原幾何體問題，且簡單易行，直觀明了.

1.合理分割，各個擊破

【例1】(2015·重慶卷文·5)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

( )

正視圖

左視圖

俯視圖

正視圖

左視圖

俯視圖圖1.1

正視圖

左視圖

俯視圖圖1.2

【例2】(2014·安徽卷理·7)一個多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為

( )

正(主)視圖

側(左)視圖

俯視圖

C.21 D.18

正視圖

側視圖

俯視圖圖2.1

正視圖

側視圖

俯視圖圖2.2

正視圖

側視圖

俯視圖圖2.3

圖2.4

【評述】在“長對正，高平齊，寬相等”的前提下，可將一些復雜的三視圖分割成若干個熟悉的幾何體或簡單幾何體的三視圖，后將所得的那些幾何體進行符合題意的組合，即可得到所求的幾何體.

2.恰當修補，無中生有

【例3】(2014·重慶卷理·7)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為

( )

正視圖

左視圖

俯視圖

A.54 B.60

C.66 D.72

正視圖

左視圖

俯視圖圖3.1

圖3.2

【例4】(2012·湖北卷理·4)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

( )

正視圖

側視圖

俯視圖

正視圖

左視圖

俯視圖圖4.1

圖4.2

【評述】本著“長對正，高平齊，寬相等”的原則，可將有些三視圖修補成一個簡單幾何體或熟悉的幾何體的三視圖，然后在所得的幾何體上進行恰當的添補或裁剪，直到得到符合題設的幾何體.

3.割補合用，雙管齊下

【例5】(2014·遼寧卷理·7)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

( )

主視圖

左視圖

俯視圖

A.8-2π B.8-π

正視圖

左視圖

俯視圖圖5.1

正視圖

左視圖

俯視圖圖5.2

正視圖

左視圖

俯視圖圖5.3

【評述】有些三視圖還原幾何體的問題，可對三視圖進行分割和修補，這樣能有效地轉化為熟悉的幾何體的三視圖，但是一定要遵循“長對正，高平齊，寬相等”的原則，否則對后續幾何體的確定極其不利.