變中有度 變中求活
——例談變式教學的層次

☉江蘇省江浦高級中學 經中進

“變式”原來是心理學上的一個名詞，其意義是變換材料的出現形式.而引入到數學教學中，變式教學已經成為了一種備受認可且非常常用的課堂教學模式.無論是新授課還是復習課中都有變式教學的影子，其可以很好地夯實學生的數學基礎，培養學生靈活解決問題的能力，提升學生的發散性思維與創新意識，并有著非常好的教學效果.

一、變式現狀

然而，數學變式教學在實際應用中，有時效果并不佳，其只是表面形式上的機械變式，最多只是重復訓練，能力層面上的突破并不明顯.數學變式教學缺少深度、廣度、靈活度.

變式教學必須是一個循序漸進的過程，通過變式教學突出數學知識、能力、方法的本質屬性，突出問題解決的思想性，有效提升學生舉一反三和靈活創新的能力，這樣的變式教學才能充分凸現其價值，才能充分提高學生的能力，培養學生的核心素養.

變式教學要形成效益，就得從變中有度，變中求活等方面做文章.下面結合一道圓錐曲線問題的變式教學設計來進行多角度闡述.

二、案例分析

【高考在線】（2018·全國Ⅲ卷理·11） 設F1、F2是雙曲線=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，O是坐標原點.過點F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，若則雙曲線C的離心率為（ ）.

分析：根據題目條件，利用雙曲線中參數a，b，c的幾何意義可知|OF2|=c，|PF2|=b，進而利用勾股定理可得|OP|=，再借助解析幾何中的直線方程來轉化，從而得以建立參數a、c之間的關系式，并求解出雙曲線的離心率.

解：由參數a，b，c的幾何意義可知|OF2|=c，|FP2|=b，則有，可得

結合兩直線垂直的關系，可得直線PF2的方程為y=（x-c）.

而F1（-c，0），由兩點間的距離公式可得|PF1|=.整理可得c2=3a2.

故選擇答案：C.

點評：解決圓錐曲線的離心率問題的關鍵是尋找橢圓或雙曲線中參數a、b、c所滿足的關系式，對此有兩種常見的破解方式：一是利用幾何特征、幾何運算來得到相應的關系式；二是直接利用代數運算來建立關系式.往往利用幾何特征來處理會減少一些運算量.

三、變式過程

1.同層變換，加深解法印象

此類變式屬于同層變換，對問題加以適當變換，與原來題目的難度基本相同，解法也基本相同，這樣可以更有效地幫助學生加深對此類問題的解法印象，形成解題模式.

【變式1】（2019·浙江模擬）設F1、F2是雙曲線1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，O是坐標原點，過點F作C2的一條漸近線的垂線，垂足為P，若|PF1|=2|PF2|，則雙曲線C的離心率為______.

解析：由a，b，c的幾何意義可知|OF2|=c，|PF2|=b，則有|PF1|=2|PF2|=2b.

結合兩直線垂直的關系得直線PF2的方程為y=x-c）.

2.淺層變換，深化概念理解

此類變式屬于淺層變換，是在學生掌握相應解題方法的基礎上，引導學生從本質上回歸到基本概念、基本知識與基本技能，克服思維定式，初步形成掌握此類基本方法破解問題的能力.

【變式2】（2019·江蘇模擬）已知雙曲線（a＞0，b＞0），過雙曲線C的右焦點F作C的漸近線的垂線，垂足為M，延長FM與y軸交于點P，且|FM|=4|PM|，如圖1所示，則雙曲線C的離心率為______.

圖1

解析：設F（c，0），可知雙曲線C的漸近線方程為

3.中層變換，突出思維能力

此類變式屬于中層變換，是在學生初步形成掌握此類基本方法破解問題的基礎上，真正學會分析問題、處理問題與解決問題的能力.

【變式3】（2018屆山東省泰安市高三二模·12）已知F為雙曲線（a＞0，b＞0）的右焦點，過點F向C的一條漸近線引垂線，垂足為A，交另一條漸近線于點B，若|OF|=|OB|，則C的離心率是（ ）.

解析：設雙曲線C的一條漸近線方程為，則直

由|OF|=|OB|可知△OFB為等腰三角形，則D為BF的中點，可得點B到x軸的距離為點A到x軸的距離的2倍，即，整理可得a2=3b2.

故選擇答案：B.

四、反思總結

變式教學要有“度”，變式教學要有“活”，不能只是重復訓練的教學，只有滲透數學知識、貫穿數學思想、揭示數學本質的變式教學，才是有價值、高效的教學.因此，教師需要不斷加強自身修養，提升對數學知識方法和數學問題的理解程度，從更高層面上去把握問題，只有這樣，才能“變出”有“度”、有“活”、有思想、有靈性的題目，從而真正提高數學課堂的效率，培養學生提出問題和解決問題的能力，使學生的發散思維能力、探究能力、創新能力等均得到有效提高.F